Soluția problemelor de tăiere joacă un rol important în formarea conceptelor de zonă, echidistanță și echidabilitate, dezvoltarea reprezentărilor geometrice.
Două figuri sunt numite echidocomponibile. dacă ele pot fi descompuse într-un număr egal de cifre egale pe perechi.
Rezultă din proprietățile zonei că cifrele echidistant sunt egale. În special, poligoanele echidistant sunt egale. De exemplu, hexagonul normal și paralelogramul prezentat în figură sunt figuri echidistant, deoarece ambele sunt compuse din șase triunghiuri echilaterale egale.
Este firesc să punem întrebarea inversă: sunt toți doi poligoane egal-dimensionale echidistant? Decizia afirmativă a fost adoptată în secolul al XIX-lea.
Teorema. Orice doi poligoane de dimensiuni egale sunt echivalente.
Dovada acestei teoreme va fi obținută ca rezultat al aplicării mai multor teoreme.
Teoremă 1. Două cifre care sunt echidocomponabile cu aceeași figură sunt echidocomponibile.
Dokazatelstvo.Deystvitelno, lăsați cifrele F „și F„equi la figura F. ia în considerare linia împărțirea figura F pe partea din care se poate face o figura F“și, în plus, linia împărțind cifra F pe partea din care se poate face o figură F ". Cei care și alte linii împartă figura F în bucăți mai mici, care pot fi formate ca o figura F „și F“. Astfel, F cifrele“și F" equi.
Teorema 2. Orice două paralelograme cu dimensiuni egale sunt echivalente.
În primul rând, luăm în considerare două paralelograme cu baze egale. Prin condiție, ele sunt egale, deci au înălțimi egale. Desenăm segmente în interiorul fiecărei paralelograme care sunt paralele cu laturile unei alte paralelograme. Apoi ambele paralele sunt împărțite în același număr de triunghiuri egal cu perechi.
Acum, paralelele nu au laturi egale. Construim un al treilea paralelogram care are aceeași bază și înălțime cu primul. Deoarece, în acest caz, cealaltă parte a treia paralelogramului poate fi selectat în mod arbitrar, face egală cu o parte a doua paralelogramului. Apoi, al treilea paralelogram va fi egal cu primul și cel de-al doilea, și fiecare dintre ele are o latură egală. În consecință, este echivalentă cu prima și cea de-a doua paralelogramă. Prin teorema 1, primul și al doilea paralelogram sunt echidocomponabile.
Teorema 3. Orice două triunghiuri de dimensiuni egale sunt echivalente.
Fiecare triunghi este transformat într-o paralelogramă egală prin extinderea liniei medii. Prin urmare, două triunghiuri de dimensiuni egale sunt transformate în două parallelograme egale. În virtutea Teoremei 2, aceste paralelograme sunt echivalente și, prin urmare, triunghiurile originale sunt echidocomponabile.
Teorema 4. Fiecare poligon este echidocomponabil cu un triunghi.
Luați în considerare un poligon și mutați unul dintre vârfurile sale paralele cu diagonala până la o continuare a uneia dintre laturi. În acest caz, poligonul original este transformat într-un poligon egal cu numărul de laturi, unul mai puțin. Având în vedere faptul că am înlocuit un triunghi cu altul - egal în mărime, iar restul rămâne neschimbat, ajungem ca noul poligon să fie echidcompostabil cu cel original. Continuând acest proces, transformăm poligonul original într-un triunghi echilateral cu el.
Acum mergem la dovada teoremei principale. Ne amintim formularea sa:
Teorema. Orice doi poligoane de dimensiuni egale sunt echivalente.
Dovada. Fie M și M egal cu poligoane, să luăm în considerare triunghiurile T și T care sunt echidistante cu ele, respectiv. Aceste triunghiuri sunt egale în mărime și, prin urmare, sunt echiducabile. Aceasta înseamnă că poligoanele originale M 'și M "sunt formate în mod egal.
Teorema dovedită ne permite, în principiu, să tăiem unul din cele două poligoane egale în părți și să adăugăm un alt poligon de la ele. Cu toate acestea, acest lucru duce la un număr foarte mare de poligoane mici. În exemple concrete, de regulă, poate fi indicată o metodă mult mai rațională de tăiere.