Graficul grafic al unei funcții care poate fi diferențiat pe un interval este convex în acest interval. dacă graficul acestei funcții în intervalul nu este mai mare decât oricare dintre tangentele sale (figura 1).
Graficul grafic al unei funcții care poate fi diferențiat pe un interval este concav în acest interval. dacă graficul acestei funcții în intervalul nu este mai mic decât oricare dintre tangentele sale (figura 2).
Teoreme privind convexitatea unei funcții și puncte de inflexiune
(În condițiile convexității sau concavității graficului unei funcții)
Fie funcția definită pe interval și are un derivat continuu care nu este zero în punctul respectiv. Apoi, dacă peste tot în intervalul, atunci funcția are o concavitate pe acest interval. dacă, atunci funcția are convexitate.
Punctul de inflexiune al unui grafic al unei funcții este un punct care separă intervalele de convexitate și concavitate.
(Cu privire la condiția necesară pentru existența unui punct de inflexiune)
Dacă funcția are o inflexiune la un punct, ea nu există.
(Într-o condiție suficientă pentru existența unui punct de inflexiune)
- primul derivat este continuu într-un cartier al punctului;
- al doilea derivat sau nu există într-un punct;
- când trece printr-un punct, își schimbă semnul,
atunci într-un punct funcția are o inflexiune.
Schema de studiu a funcției pe convexitate, concavitate
- Găsiți al doilea derivat al funcției.
- Găsiți punctele la care al doilea derivat este zero sau nu există.
- Investigați semnul derivatului din stânga și din dreapta fiecărui punct găsit și trageți o concluzie cu privire la intervalele de convexitate și punctele de inflexiune.
Sarcină. Găsiți intervalele de convexitate / concavitate ale unei funcții
Soluția. Să găsim al doilea derivat al funcției date:
Gasim punctele la care al doilea derivat este zero, pentru aceasta rezolvam ecuatia:
Să investigăm semnul celui de-al doilea derivat din stânga și din dreapta punctului rezultat:
Deoarece al doilea derivat este pe interval, funcția este convexă în acest interval; deoarece al doilea derivat este concav pe interval. Deoarece cel de al doilea derivat se schimbă semn când trece prin punct, acest punct este punctul de inflexiune al graficului funcției.
Răspuns. Punctul este punctul de inflexiune al graficului funcției.
Pe interval, funcția este convexă, pe intervalul în care funcția este concavă.