Clasa a VIII-a: Tema 3. Pătrat de figuri. Teorema lui Pitagora.
1. Conceptul de zonă. Figuri egale.
Dacă lungimea este o caracteristică numerică a unei linii, atunci zona este o caracteristică numerică a unei figuri închise. În ciuda faptului că suntem familiarizați cu conceptul de pătrat din viața de zi cu zi, nu este ușor să acordăm o definiție strictă acestui concept. Se pare că aria unei cifre închise poate fi numită orice cantitate nonnegativă având următoarele proprietăți de măsurare a suprafețelor cifrelor:
Figurile egale au zone egale.
Dacă această formă închisă împărțită în mai multe închise cifre, aria figurii este suma pătratelor pieselor sale componente (figura din figura 1 este împărțit în n bucăți, în care zona de figuri de caz în care Si - formele de suprafață i-lea).
În principiu, ar fi posibil să se prezinte o varietate de cantități care au formulat proprietăți și, prin urmare, să caracterizeze aria figurii. Dar cel mai familiar și mai convenabil este valoarea care caracterizează pătratul pieței drept pătratul lateral. Să numim acest "aranjament" a treia proprietate a măsurării zonelor cifrelor:
Pătratul pătratului este egal cu pătratul laturii sale (figura 2).
Prin această definiție, suprafața cifrelor este măsurată în unități pătrate (cm 2 km 2. ha = 100 m 2).
Cifre. având zone egale, sunt numite egale.
W
Notă: cifrele egale au zone egale, care sunt bucăți egale de mărime egală. Cu toate acestea, de formă egal nu este întotdeauna egală (de exemplu, Figura 3 prezintă un pătrat și un triunghi isoscel format din triunghiuri egale în unghi (întâmplător, aceste cifre denumite equidecomposable); înțeles că pătrat și triunghi suprafață egală, dar nu sunt egale, deoarece nu sunt aliniate cu suprapunere) .
În continuare, derivăm formule pentru calculul suprafețelor tuturor tipurilor principale de poligoane (inclusiv formula binecunoscută pentru găsirea zonei unui dreptunghi), pe baza proprietăților formulate de măsurare a suprafețelor figurilor.
2. Zona dreptunghiului. Zona paralelogramului.
Formula pentru calcularea suprafeței dreptunghiului: aria unui dreptunghi este egală cu produsul celor două laturi adiacente (figura 4).
având în vedere:
Extindeți partea AB pe segmentul BP = a. și partea AD - pe segmentul DV = b. Construim paralelogramul APRV (figura 4). Deoarece A = 90, APRV este un dreptunghi. În acest caz, AP = a + b = AV. APRV este un pătrat cu o latură (a + b).
Noi denotăm BC RV = T. CD PR = Q. Apoi BCQP este un pătrat cu partea a. CDVT - pătrat cu partea b. CQRT este un dreptunghi cu laturile a și b.
.
Formula pentru calcularea ariei unui paralelogram: Aria paralelogramului este egală cu produsul înălțimii sale pe bază (Figura 5).
Notă: baza paralelogramului este numită în mod obișnuit partea în care este trasată înălțimea; Este clar că orice parte a paralelogramului poate servi drept bază.
Desenați înălțimea CF în partea de jos a AD (Figura 5).
BC êHF. BH λείCF. BCFH - n / a prin definiție. H = 90, BCFH - dreptunghi.
BCFH - d / g, prin proprietatea n / g BH = CF. BAH = CDF pentru hypotenuse și picior (AB = CD în greutate, p / g, BH = CF).
SABCD = SABCF + S ΔCDF = SABCF + SδBAH = SBCFH = BH BC = BH AD.
3. Zona triunghiului.
Formula pentru calcularea ariei unui triunghi: aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul înălțimii sale pe bază (figura 6).
Notă: În acest caz, baza triunghiului este partea pe care este trasată înălțimea. Oricare dintre cele trei laturi ale triunghiului poate servi drept bază.
Finalizăm ABC la n / d ABKC trecând linia BK AC prin vârful B. și prin vârful C - linia CK ABAB (figura 6).
ABC = KCB pe trei laturi (BC - total, AB = KC și AC = KB pentru st-va p / g), .
Corolar 1 (formula de calcul aria unui triunghi dreptunghic): Deoarece n / y ke unul dintre picioare este mare, a avut loc la a doua cateta, zona n / a -ka este egal cu jumătate din produsul din celelalte două laturi (Figura 7).
Corolarul 2: Dacă luăm în considerare n / a ABC cu altitudine AH. condus la hypotenuse BC. atunci. Astfel, în p / u Δi-ke, înălțimea la hypotenuse este egală cu raportul dintre produsul picioarelor sale și hypotenuse. Acest raport este adesea folosit pentru rezolvarea problemelor.
4. Consecințele formulei de identificare a zonei triunghiului: raportul ariilor triunghiurilor cu înălțimi sau baze egale; triunghiuri egale în cifre; proprietatea zonelor de triunghiuri formate de diagonalele unui patrulater convex.
Din formula pentru calcularea ariei unui triunghi, două consecințe urmează într-un mod elementar:
Raportul ariilor de triunghiuri cu înălțimi egale este egal cu raportul dintre bazele lor (în figura 8).
oh
Raportul ariilor de triunghiuri cu baze egale este egal cu raportul înălțimilor lor (în figura 9).
Notă: În rezolvarea problemelor, triunghiurile cu o înălțime comună sunt foarte frecvente. În acest caz, de regulă, bazele lor se află pe o linie, iar vârful opus bazelor este comun (de exemplu, în Figura 10 S1: S2: S3 = a: b: c). Ar trebui să învățați să vedeți înălțimea totală a acestor triunghiuri.
De asemenea, din formula de calcul a ariei unui triunghi, fapte utile ne permit să găsim în cifre egale cu triunghiuri:
M
ediana triunghi arbitrar se împarte în două triunghi dimensiuni egale (prezentat la 11 și înălțimea ABM ACM AH - total, și BM și bază CM pentru a determina mediana sunt egale, rezultă că ABM și ACM arie egală).
Diagonalelor paralelogramului este împărțit în patru triunghiuri de dimensiuni egale (Figura 12 AO - triunghi median ABD prin diagonalele proprietate h / y, de precedentele insule de comunicare triunghiuri ABO și ADO suprafață egală ;. Ca BO - triunghi median ABC și triunghiul ABO BCO suprafață egală, deoarece CO - mediana triunghi BCD triunghiuri BCO și suprafață egală DCO ;. deci, SADO = SABO = SBCO = SDCO).
D
Triunghiurile trapezului o împart în patru triunghiuri; două dintre ele, adiacente laturilor, sunt egale (Figura 13).
având în vedere: dovada:
Desenați înălțimile BF și CH (Figura 13). Apoi pentru ABD și ACD baza AD este generală, iar înălțimile BF și CH sunt egale; SΔABD = SδACD.
SΔABO = SΔABDSΔAOD = SΔACDS ΔAOD = SδDCO.
Dacă tragem diagonalele unui patrulater convex (Figura 14), se formează patru triunghiuri ale căror zone sunt conectate printr-o relație foarte simplă pentru memorare. Determinarea acestei relații se bazează exclusiv pe formula de calcul al ariei unui triunghi; Cu toate acestea, este rară în literatura de specialitate. Fiind util în rezolvarea problemelor, relația care va fi formulată și demonstrată mai jos merită o atenție deosebită:
Proprietatea zonelor de triunghiuri formate de diagonalele unui patrulater convex: Dacă diagonalele ABCD convex quadrilateral se intersectează la punctul O. (Figura 14).
ABCD este un patrulater convex;
5. Raportul ariilor de triunghiuri având un unghi egal.
O teoremă privind raportul dintre zonele de triunghiuri având un unghi egal: Zonele de triunghiuri având un unghi egal sunt tratate ca produse ale laturilor care înconjoară aceste unghiuri (Figura 15).
6. Proprietatea bisectorului unui triunghi.
Folosind teoria relației dintre domeniile de triunghiuri cu colțul egal, iar relația dintre zonele de triunghiuri cu înălțimi egale, doar sa dovedit extrem de utilă în rezolvarea problemelor de fapt care nu au legătură directă cu aria figurii:
Proprietatea bisectorului triunghiului: Bisectorul triunghiului împarte partea în care este trasată, în segmente proporționale cu laturile adiacente acestora.
A K este bisectorul ABC.
dovada:
Prin teorema privind raportul de triunghiuri având un unghi egal ,.
pentru că AH este înălțimea totală a triunghiurilor ABK și ACK. .
Din punctele 1 și 2 obținem :, , .
Notă: Deoarece în proporția corectă se poate schimba termenii extremi sau termenii de mijloc, proprietatea bisectorului unui triunghi este mai convenabil de reținut în următoarea formă (Figura 16) :.
7. Zona trapezului.
Formula pentru calcularea suprafeței trapezoidului: Suprafața trapezoidului este egală cu produsul înălțimii sale cu jumătate din suma bazelor.
Corolar: Raportul dintre zonele trapezoidelor cu înălțimi egale este egal cu raportul dintre liniile lor medii (sau raportul dintre sumele bazelor).
8. Zona unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare.
Formula pentru calcularea suprafeței unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare: aria unui patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale.
Noi denotăm AC BD = O. Deoarece AC BD. AO - înălțime ABD. și CO este înălțimea CBD (Figurile 18a și 18b pentru cazurile de quadrangle convexe și neconvexe, respectiv).
(semnele "+" sau "-" corespund cazurilor de quadrangle convexe și neconvexe, respectiv).
9. Teoreme directe și inverse ale lui Pythagoras.
Teorema pitagoreană joacă un rol extrem de important în rezolvarea unei mari varietăți de probleme; permite să găsim partea necunoscută a unui triunghi dreptunghiular de-a lungul a două laturi cunoscute ale acestuia. Există multe dovezi ale teoremei pitagoreene. Dăm cel mai simplu dintre ele, pe baza formulelor de calcul al suprafețelor unui pătrat și a unui triunghi:
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi drept, pătratul hypotenusei este egal cu suma pătratelor picioarelor.
pentru că BC = QB = TQ = CT. CBQT este un romb. În acest caz, QBC = 180- (ABC + PBQ) = 180- (ABC + ACAC) = BAC = 90; CBQT este un pătrat, iar SCBQT = BC 2.
. Deci, BC 2 = AB 2 + AC 2.
Teorema inversă a lui Pythagoras este un semn al unui triunghi drept; Permite verificarea a trei laturi cunoscute ale unui triunghi, indiferent dacă este dreptunghiulară.
Teorema Pitagora: Dacă pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci acest triunghi este dreptunghiular, iar partea sa mai mare este ipoteza.
Dreptunghiulare triunghiuri, ale căror lungimi sunt exprimate prin numere naturale, se numesc triunghiuri triunghiulare. și triplele numerelor naturale corespunzătoare sunt triplete pitagoreene. Tripletele tritagale sunt utile pentru a vă aminti (cea mai mare dintre aceste numere este egală cu suma pătratelor celorlalte două). Iată câteva triplete Pythagorean:
Un triunghi cu unghi drept cu laturile 3, 4, 5 a fost folosit în Egipt pentru a construi unghiuri drepte, motiv pentru care un astfel de triunghi este numit egiptean.
10. Formula lui Heron.
Formula lui Heron ne permite să găsim zona unui triunghi arbitrar de-a lungul celor trei laturi cunoscute și este indispensabilă pentru rezolvarea multor probleme.
Formula lui Heron: aria triunghiului cu laturile a. b și c se calculează după următoarea formulă: unde este jumătatea diametrului triunghiului.
Fie B cea mai mare dintre unghiurile triunghiului ABC (Figura 21), atunci A și C sunt ascuțite, iar baza înălțimii BH se află pe partea laterală a AC (și nu pe extensia sa).
Indicăm prin BH = h. AH = x. apoi CH = b-x. Prin teorema pitagoreană obținem ABH și CBH: BH2 = AB2-AH2 = BC2-CH2.
Din punctul 2 obținem :,
. Substituim expresia obținută pentru x în formula pentru calculul înălțimii h și efectuăm transformările:
(aici se ia în considerare faptul că perimetrul ABC este de două ori mai mare decât semiperimetrul :). Apoi.
Înlocuim expresia obținută pentru înălțime în formula pentru calcularea ariei triunghiului :.
Clasa Viii: Piața tematică a figurilor. Teorema lui Pitagora. Conceptul de zonă. Figuri egale