Ecuația (3.37) este ecuația planului. Prin urmare, două corpuri care se mișcă în spațiu sub acțiunea unei forțe atractive sunt mereu în același plan; traiectoria corpului 2 față de corpul 1 este o curbă plană și se numește o orbită. Cu alte cuvinte, orbita unui corp față de cealaltă se află în plan.
Aranjăm axele sistemului de coordonate, pe care vrem să le determinăm în planul orbitei, iar axa va fi perpendiculară pe aceasta. Punctul (originea sistemului de coordonate) este compatibil cu corpul cu masă. Apoi ecuațiile de mișcare (3.30-3.32) pot fi scrise sub forma:
unde este un vector direcționat de la corpul 1 la corpul 2. Înmulțind vectorul (3.38) în stânga, obținem
așa cum. Integrând, obținem asta
unde este un vector independent de timp. Vectorul este numit vectorul momentului unghiular și, conform definiției produsului vectorial, acesta este perpendicular pe planul orbitei, în care se află atât vectorul de rază cât și vectorul de viteză. Ecuația (3.39) este echivalentă cu ecuația (3.37): constantele sunt proiecții pe axa sistemului de coordonate inerțiale.
Acum multiplicăm ecuațiile (3.30-3.32), respectiv, și le adăugăm. Coordonatele sunt coordonatele corpului 2 față de corpul 1. Ca rezultat, obținem următoarea ecuație:
De când avem
astfel încât ecuația precedentă ia forma
Integrarea ecuației oferă:
unde este pătratul vitezei corpului 2 care se mișcă în raport cu corpul 1. O constantă arbitrară în ecuația (3.40) se numește constantă de energie. Poate fi o valoare egală cu zero, pozitivă sau negativă. În mecanica cerească se dovedește că tipul orbitei corpului depinde de valoarea energiei constante: pentru o orbită există o elipsă, pentru parabolă și pentru o hiperbolă.
Având în vedere că orbita se află în plan și poziția corpului 2 față de corpul 1 este determinată numai de coordonate, este convenabil să se introducă coordonatele polare (figura 3.12) pentru calcule ulterioare, astfel încât
Să presupunem că la un moment dat corpul 2 se afla la o distanță de corpul 1 și, după un interval de timp, se mișcă într-un unghi și distanța devine egală. Presupunând că intervalul de timp este mic, putem lua în considerare arcul de-a lungul căruia corpul 2 se mișcă printr-o linie dreaptă. Apoi, aria sectorului, care formează doi vectori de rază și va fi aproape de aria triunghiului, este egală cu. Dacă dăm drumul la zero și împărțim într-o perioadă de timp, constatăm că aria sectorului descrisă de organism este egală cu. Prin urmare, pe baza ecuației (3.42) se poate afirma că pentru intervale egale de timp vectorul de rază descrie zone egale, magnitudinea momentului unghiular fiind egală cu dublul ariei sectorului. Aceasta este a doua lege a lui Kepler.
Acum scriem ecuația (3.38) în coordonate polare. Deoarece derivatul a fost deja găsit (3.41), atunci
Vieții singuri modifică direcția în timp, astfel încât proiecțiile lor pe axa se schimbă. În consecință, derivatele nu sunt egale cu zero. Pentru a le calcula, găsim derivatul vectorului unitar în raport cu unghiul (Figura 3.12). deoarece
Din ultima expresie găsim
În mod similar, găsim o expresie pentru derivat:
Înlocuind valorile derivatelor în ecuația (3.43) și derivând termeni similari, constatăm că accelerația corpului se descompune în două componente, componentele radiale și normale:
Deoarece al doilea termen în paranteze poate fi scris în forma:
atunci din Legea lui Kepler (3.42) urmează egalitatea (componenta normală a accelerației) la zero.
Presupunând că, vom scrie ecuația (3.38) în coordonate polare în următoarea formă:
Ecuațiile diferențiale (3.42) și (3.44) descriu dependența distanței dintre un corp față de cealaltă și unghiul de timp. Pentru a rezolva aceste ecuații, excludem de obicei timpul (3.44) cu ajutorul (3.42). Pentru comoditate, introducem un parametru, astfel încât
Dreptul lui Kepler (3.42) poate fi scris în forma :. Acum exprimăm derivatul în termeni de parametru. Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivatul:
și, având în vedere că este o funcție implicită, ajungem
După înlocuirea în ecuația (3.44), găsim:
Soluția ecuației diferențiale de ordinul al doilea (3.45) poate fi scrisă ca:
unde u sunt două constante de integrare. O substituție directă arată că este o soluție de (3,45). Înlocuind și introducând noi parametri: ,, găsim ecuația traiectoriei corpului în coordonate polare:
Ecuația (3.46) este ecuația secțiunilor conice. Forma orbitei depinde de parametrul - excentricitatea orbitei. Dacă, atunci traiectoria este o elipsă, dacă, atunci - o parabolă, dacă, atunci, o hiperbolă. Forma orbitei poate fi de asemenea determinată din valoarea energiei constante din ecuația (3.40), care depinde de viteza și de vectorul de rază al corpului. Prin urmare, este convenabil să se raporteze forma orbitei la parametrii inițiali u:
Pentru că, atunci. Excluzând din (3.48), găsim:
Perioada de revoluție depinde numai de suma maselor corpurilor, deoarece și de magnitudinea axei semimajor a orbitei.
În cazul în care corpurile 1 și 2 nu se aplică forțe de atracție ale altor organe (mecanica cereasca, această problemă se numește problemă a două corpuri), perioada de tratament este constantă și poate servi ca unitate de timp. La începutul secolului XX, pe baza observațiilor de Soare si Luna sa format timp efemeridelor scara (Time Ephemeris, ET). Deoarece din cauza perturbațiilor altor organisme orbiteze modificări perioada orbitala la scara ET au fost necesare observații pe termen lung. Datorită complexității construcției acestei scale, dar și din cauza apariției la mijlocul anilor '50 ai secolului XX, standardele de frecvență atomice pe scara de timp bazată pe revoluția Pământului în jurul Soarelui, a trebuit să fie abandonată. In prezent baza timpului de numărare timp este atomic timpul gama TAI, dar cele mai stabile pe intervale lungi de timp poate fi scara de timp pulsar, pulsarul este o stea într-un sistem binar.
Să denotăm prin viteza medie a mișcării planetei:
În mecanica cerească, parametrul se numește mișcarea medie. Dacă masa Soarelui este notată ca fiind, masa planetei este aceeași, iar perioada de revoluție și axa semimajor sunt egale și, atunci
O ecuație similară poate fi scrisă pentru o altă planetă cu masă, perioadă de revoluție și o axă semimajor:
Prin împărțirea unei ecuații cu alta, obținem:
Ecuația (3.51) este o notație matematică a celei de-a treia legi a lui Kepler. Deoarece raportul pentru cea mai masivă planetă din sistemul solar este Jupiter, valoarea din partea stângă a lui (3.51) diferă de unitatea din al treilea semn. În consecință, în interiorul nostru avem
Pătraturile perioadelor de revoluție ale planetelor sunt denumite cuburile semiaxelor lor mari. Definirea axa semi-majoră a Pământului ca o unitate astronomică (1 UA), (este - definiție greșită a unității astronomice, vezi capitolul 9.) Și ca 1 an, prin măsurarea perioadei de tratament, sau o planeta (în ani), este posibil să se înregistreze o treime Legea lui Kepler în forma:
unde este axa semimajor și perioada de revoluție a oricărei planete. A treia lege a lui Kepler stabilește doar dimensiunile relative ale orbitelor planetelor. Pentru a stabili dimensiunile reale ale sistemului solar, este necesar să cunoaștem valoarea de 1 UA. în metri. La începutul secolului al XX-lea, s-au folosit observațiile Soarelui pentru acest scop, iar magnitudinea paralaxelor solare a fost calculată (vezi p.). Apoi, observațiile optice au fost înlocuite cu metode radar mai precise ale planetelor, ceea ce ne-a permis să determinăm valoarea 1 au cu o eroare de câțiva metri.
3.10.2. Parametrii și anomaliile orbitei de la Keplerian
Când ne gândim la mișcarea planetelor, ne putem limita la cazul mișcării eliptice. În acest caz, orbita planetei este caracterizată de șase parametri.
Definim sistemul de coordonate asociat orbitei planetei. Punctul orbitei cel mai apropiat de Soare se numește perihelion. și cea mai îndepărtată de Soare este aphelionul. Axa este îndreptată spre perihelion, axa fiind perpendiculară pe planul orbitei. Punctele de intersecție a planului orbitei planetei și a eclipticului sunt numite noduri ale orbitei. iar nodul ascendent este cel pe care trece planeta, trecând de la regiunea latitudinilor negative până la regiunea latitudinilor pozitive. Reprezentarea grafică și parametrii orbitei de tip Keplerian sunt prezentate în Fig. 3.14.
Fig. 3.14. Determinarea parametrilor orbitelor eliptice
Orientarea orbitei în spațiu (orientarea sistemului de coordonate în raport cu sistemul heliocentric) este descrisă de trei unghiuri. Unghiul dintre direcția până la punctul echinocțiului de iarnă și punctul nodului ascendent se numește longitudinea nodului ascendent și este notat. Unghiul dihedral între planurile orbitei și ecliptic este numit înclinarea orbitei și este desemnat ca. Al treilea unghi, care este notat și numit argumentul periheliului. este unghiul dintre direcțiile către nodul ascendent și periheliu. Deoarece unghiul este constant, aceasta înseamnă invarianța poziției axei atât în planul orbitei, cât și în spațiu.
Următorii doi parametri: axa semimajor și excentricitatea determină dimensiunea și forma orbitei. Și, în final, poziția corpului pe orbită în momentul inițial este determinată de epoca trecerii prin periheliu.
Poziția instantanee a planetei la acel moment este determinată de unghiul, care se numește adevărata anomalie (Figura 3.15).
Fig. 3.15. Determinarea anomaliilor orbitei de la Keplerian
În plus față de adevărata anomalie în mecanica cerească, se folosesc anomalii excentrice și medii. Construim un cerc de rază egal cu semi-axa majoră a elipsei, cu un centru care coincide cu centrul elipsei. Părăsim perpendicularul pe axă; atunci continuarea lui intersectează cercul într-un punct. Unghiul se numește o anomalie excentrică. Unghiul egal cu anomalia medie este determinat de mișcarea medie și este egal cu
Dacă sunt cunoscute elementele orbita corpului, poziția și viteza sa în eclipticei sistemul de coordonate în orice moment de timp definit prin următoarea secvență de calcule: 1) Prima este anomalia medie cu formula (3.53); 2) rezolvând ecuația lui Kepler (3.61), găsim o anomalie excentrică; 3) știind, obținem vectorul de radius al corpului (3.57) și proiecția sa în sistemul de coordonate orbital (3.56); 4) și, folosind ecuația (3.65) și matricea (3.66), obținem coordonatele rectangulare ecliptical și viteza de circulație a corpului proiecției.
Dacă excentricitatea orbitei este mică, atunci metoda iterativă este o metodă convenabilă pentru rezolvarea ecuației Kepler. În primul pas se presupune că. Apoi procesul de iterație
poate fi oprit când diferența devine mai mică decât un anumit număr predeterminat. Ne limităm acum la trei iterații și o exprimăm în mod explicit ca o funcție. Avem
Presupunând că, obținem într-o serie
Acum exprimăm sub forma unei serii în puteri de excentricitate adevărata anomalie ca o funcție a anomaliei medii. Pentru a face acest lucru, multiplicăm mai întâi prima ecuație (3.56) cu, a doua - și adăugăm rezultatul. După reducerea acestor termeni, obținem:
Extinzând într-o serie și împărțind ambele părți ale ecuației, găsim asta
Atunci când este posibilă extinderea numitorului într-o serie de puteri, atunci (deoarece sunt egale cu arcul cu un unghi mic proporțional cu), se descompune arcina. Păstrarea termenilor până la, obținem:
În concluzia acestei secțiuni, să luăm în considerare mișcarea Pământului pe orbită.
1) pământului gravitațională centrul în raport cu centrul de mișcări de masă + sistem Pământ Luna. Acesta din urmă se află pe linia care leagă centrele de masă a Pământului și Luna, la o distanță de kilometri de centrul de greutate al Pământului, în care: - distanța dintre Pământ și Lună, care sunt egale în masă.
2) Centrul de greutate al sistemului Pământ + Lună se mișcă în jurul Soarelui pe o orbită, ale cărui elemente nu sunt constante, ci sunt funcții ale timpului. Orbita este aproape de circulație; excentricitatea orbitei este. Orbita centrului de greutate al sistemului Pământ + Lună este deranjată datorită atracției Pământului, Lunii și Soare de către planete. Din cauza tulburărilor, mișcarea centrului de greutate al sistemului Pământ + Lună este diferită de mișcarea de tip keplerian, dar această diferență nu depășește longitudinea, latitudinea.
3) Centrul soarelui se deplasează în raport cu centrul sistemului solar de greutate - barycenter. Sun circulație centru în raport cu barycenter sistemului solar este determinată în principal de cele două planete cele mai masive - Saturn si Jupiter si este reprezentat prin două mișcări aproape circulare cu perioade de tratament a acestor planete (u s). Raza mișcărilor circulare ale soarelui relativ la barycenter centrului este egal cu aproximativ Saturn și Jupiter (u - raportul de masă Sun la masa Saturn și Jupiter) (. Figura 3.16).
Soarele se îndepărtează de centrul masei sistemului solar cu o valoare care nu depășește două raze solare.
Vitezele orbitale ale lui Jupiter și Saturn sunt de aproximativ 13 km / s și 9,5 km / s, respectiv, componentele vitezei centrului soarelui, cauzate de aceste planete, sunt.
>