TOPOLOGY, o ramură a matematicii care se ocupă de studierea proprietăților figurilor (sau spațiilor) care sunt păstrate sub deformări continue, cum ar fi, de exemplu, întinderea, stoarcerea sau îndoirea. Deformarea continuă este deformarea unei figuri, în care nu există nici o discontinuitate (adică o încălcare a integrității figurii) sau lipirea (adică identificarea punctelor sale). Astfel de proprietăți geometrice sunt legate de poziția și nu de forma sau dimensiunea figurii. Spre deosebire de geometriile Euclidian și Riemannian, geometria Lobachevski și alte geometrii care se ocupă de măsurarea lungimilor și unghiurilor, topologia are un caracter dezechilibrat și calitativ. Anterior, a fost numită "analiza Sith" (analiza situației), precum și "teoria seturilor de puncte". Topologia literatura științifică și populară adesea numită „geometrie, pe o foaie de cauciuc“, deoarece poate fi reprezentat vizual ca forme geometrice desenate pe o foi de cauciuc perfect elastice, care sunt supuse la tensiuni, compresiune sau îndoire. Topologia este una dintre cele mai noi secțiuni ale matematicii.
În 1640, filosoful și matematicianul francez R. Decarte (1596-1650) a găsit o relație invariantă între numărul de vârfuri, muchii și fațete ale polyhedra simple. Această relație Descartes a exprimat formula V - E + F = 2, unde V - numărul de vârfuri, E - numărul de vârfuri și F - numărul de fețe. În 1752 matematicianul elvețian L. Eiler (1707-1783) a oferit o dovadă riguroasă a acestei formule. O altă contribuție a lui Euler la dezvoltarea topologiei este soluția faimoasei probleme a podurilor Koenigsberg. A fost o insulă pe râul Pregel din Koenigsberg (în locul unde râul este împărțit în două ramuri - vechi și noul pregel) și șapte poduri care leagă insula cu băncile. Sarcina a fost aceea de a afla dacă este posibilă ocolirea tuturor celor șapte poduri de-a lungul unei căi continue, vizitarea fiecăruia doar o singură dată și revenirea la punctul de plecare. Euler a înlocuit secțiunile de teren cu puncte și poduri - cu linii. Configurația rezultată Euler a numit graficul, punctele - vârfurile și liniile - marginile. El a împărțit vârfurile în cele drepte și cele drepte, în funcție de numărul de perechi paralel sau par să părăsească vârful. Euler a arătat că toate marginile unui grafic pot fi ocolite exact o dată printr-o rută continuă închisă numai dacă graficul conține numai vârfuri. Din moment ce graficul din problema podurilor Koenigsberg conține doar noduri ciudate, este imposibil să ocolim podurile de-a lungul unui traseu continuu, vizitându-ne exact la un moment dat și revenind la începutul traseului.
Soluția problemei podului Koenigsberg propusă de Euler depinde numai de aranjamentul reciproc al podurilor. A pus originea oficială a topologiei ca ramură a matematicii. K. Gauss (1777-1855) a creat o teorie a nodurilor, care mai târziu sa angajat în I. Listing (1808-1882), P.Tate (1831-1901) și J.Alexander. În 1840 A.Mobius (1790-1868) a formulat așa-numita problemă patru culori, care este ulterior investigat O.de Morgan (1806-1871) și A.Keli (1821-1895). Prima lucrare sistematică privind topologia a fost investigațiile preliminare privind topologia înregistrării (1874).
Fondatorii topologiei moderne sunt G. Cantor (1845-1918), A. Poincaré (1854-1912) și L. Brauer (1881-1966).
Secțiuni de topologie.
Topologia poate fi împărțită în trei domenii: 1) topologia combinatorică, care studiază formele geometrice prin descompunerea lor în cele mai simple figuri, care se înconjoară regulat unul cu celălalt; 2) topologia algebrică care se ocupă de studiul structurilor algebrice legate de spațiile topologice, cu accent pe teoria grupurilor; 3) set-teoretic topologie studiat mai multe ca grupuri de puncte (în contrast cu metodele combinatoriale reprezintă un obiect ca o unire a obiectelor simple) și stabilite în ceea ce privește descrierea proprietăților topologice, cum ar fi deschiderea, evitantă, conexiune, etc. Desigur, această împărțire a topologiei în regiuni este oarecum arbitrară; mulți topologi preferă să aloce alte secțiuni în el.
Unele concepte de bază.
Un spațiu topologic constă dintr-un set de puncte S și o colecție S de subseturi ale mulțimii S. care satisface următoarele axiome:
(1) întregul set S și setul gol aparțin setului S;
(2) unirea oricărei colecții de seturi în S este un set în S;
(3) intersecția oricărui număr finit de seturi în S este un set în S.
Seturile din setul S sunt numite seturi deschise. și acest set în sine este o topologie în S. SETURI DE TEORIE.
Transformarea topologică. sau un homeomorfism. una formă geometrică S pe cealaltă, S ¢, - un afișaj (p ® p ¢) ale punctelor p S în termeni p ¢ din S ¢ care îndeplinește următoarele condiții: 1) le stabilește corespondența între punctele de S și S ¢ bijective și anume Fiecărui punct p de S corespunde doar un punct p from de la S and și la fiecare punct is este afișat un singur punct p; 2) maparea este reciproc continuă (continuu în ambele direcții); dacă sunt date două puncte p. q și p din Împinge punctul S, astfel încât distanța dintre acesta și punctul q la zero, atunci distanța dintre punctele corespunzătoare ¢ p, q ¢ S ¢ tinde la zero, și vice-versa.
Figurile geometrice care trec peste ele în urma transformărilor topologice se consideră a fi homeomorfe. Cercul și limita de pătrat homeomorf, deoarece acestea pot fi transformate în fiecare alte transformări topologică (adică îndoire și întindere fără spargere sau lipire, de exemplu, se întinde o frontieră pătrat și un cerc descris în jurul acestuia). Sfera și suprafața cubului sunt, de asemenea, homeomorfe. Pentru a dovedi că cifrele sunt homeomorfe, este suficient să se indice transformarea corespunzătoare, dar faptul că nu putem găsi o transformare pentru unele figuri nu dovedește că aceste cifre nu sunt homeomorfe. Proprietățile topologice ajută aici.
Proprietatea topologică (sau invariabilă topologică) a figurilor geometrice este o proprietate care, împreună cu o figură dată, este de asemenea posedată de orice figură în care trece printr-o transformare topologică.
Orice set deschis conectat care conține cel puțin un punct este denumit zonă.
O zonă în care orice curbă închisă simplu (adică, homeomorfă la un cerc) poate fi contractată la un punct, rămânând tot timpul în această regiune, se numește pur și simplu conectat. și proprietatea corespunzătoare a domeniului este pur și simplu conectată. Dacă, totuși, o anumită curbă închisă a acestei regiuni nu poate fi contractată la un punct, rămânând tot timpul în această regiune, atunci domeniul este numit multiplu conectat. iar proprietatea corespunzătoare a domeniului este conectată multiplu. Imaginați-vă două zone circulare sau discuri, una fără găuri și cealaltă cu găuri. Prima regiune este pur și simplu conectată, a doua este multiplă conectată. Conectivitatea unică și conectarea multiplă sunt proprietăți topologice. Un domeniu cu o gaură nu poate trece sub un homeomorfism într-un domeniu fără găuri. Este interesant de observat că dacă într-un disc multiplu conectat tragem de-a lungul unei tăieturi de la fiecare orificiu la marginea discului, atunci acesta devine pur și simplu conectat.