Lăsați o secvență infinită de numere să fie dată.
Expresia este numită serie numerică. Numerele sunt numite membri ai acestei serii.
Membru al seriei, care se află pe locul n, numărătoare de la început, se numește termenul general al acestei serii. Este convenabil să exprimați expresia după cum urmează:
Suma unui număr finit n din primii termeni ai seriei se numește a șaptea sumă parțială a seriei.
Luați în considerare sumele parțiale:
Dacă există o limită finită. atunci se numește suma unei serii și se spune că se converge.
Dacă nu există (de exemplu, ei spun că seria nu diferă și nu are nicio sumă.
Teorema. (Criteriul necesar pentru convergența unei serii). Dacă seria converge, atunci termenul său n are tendința de a zero pentru o creștere neconsolidată a n, adică,
Corolar. Dacă termenul n de serie nu tinde la zero (), atunci seria se diferențiază.
Caracteristica considerată este doar necesară, dar nu suficientă, adică din faptul că cel de-al n-lea termen al seriei tinde la zero, încă nu rezultă că seria converge - seria poate de asemenea să se abată.
Semne suficiente de convergență a seriei numerice:
Teorema. (O caracteristică a convergenței lui D'Alembert). Dacă există o limită pentru o serie de numere cu termeni pozitivi. apoi seria converge pentru și diverge pentru. În cazul în care seria poate converg sau diverge.
Teorema. (Semnul lui Cauchy). Dacă există o limită pentru o serie de numere cu termeni pozitivi. apoi seria converge pentru și diverge pentru. În cazul în care seria poate converg sau diverge.
Teorema. (Testul Integral Cauchy). Să se dea o serie de termeni pozitivi. ale căror termeni sunt valorile funcției pozitive continue f (x) pentru valorile întregului argumentului x. ; . . ... și lăsați f (x) să scadă monotonic în intervalul [1, ∞). Apoi seria converge în cazul în care integritatea necorespunzătoare se converge. și se diferențiază dacă aceasta se deosebește integral.
Astfel, dacă. atunci seria se diferențiază, dacă este egală cu orice număr finit. atunci seria converge.
Exemplu: Scrieți o serie în forma extinsă a1 + a2 + ... + an + .... dacă este dat un termen general
;
;
;
Astfel, obținem
Exemplu: Determinați convergența unei serii de numere
Soluția. Utilizăm criteriul necesar pentru convergența seriei. Pentru o serie numerică dată, scrieți formula formulării generale și calculați limita:
Întrucât limita nu este zero, seriile originale se deosebesc.
Exemplu: Folosirea testului d'Alembert pentru a investiga seriile de convergență.
. În consecință, seria converge.
Exemplu: Folosind testul radical Cauchy, investighează seria de convergență.
în consecință, seriile se deosebesc.
Exemplul 5: Folosind criteriul integral Cauchy, investighează seria de convergență.
deoarece integritatea nu există, seriile se deosebesc.
O serie a cărei membri sunt funcții ale lui x este numită funcțională.
Setul de valori de x. sub care funcțiile. . , ..., sunt definite și seria converge, se numește domeniul convergenței seriei funcționale.
Serii funcționale ale speciei. unde ,, ,, ..., sunt numere reale, se numește un număr de putere.
În cazul unei serii de putere,