Proprietatea este 2.7. Determinantul matricei Gram vectorilor sunt sistem liniar dependente este 0.
Dovada. Lăsați sistemul de vectori - este dependentă liniar. Apoi, un sistem include un vector zero și aprobare în acest caz, în mod evident, sau există o combinație vector, liniară a vectorilor sistemului anterior. In matricea Gram scade din rândul i-lea, șirul precedent cu coeficienți. Determinantul matricei Gram nu se schimbă, și rândul i-lea devine zero. Determinantul liniei zero este egal cu zero și, prin urmare, determinantul matricei Gram este zero.
Să considerăm sensul geometric al matricei Gram a independenței liniare a vectorilor. Dacă k = 1, atunci - lungimea pătrat a vectorului. Dacă k> 1, sistemul este aplicabil vectorilor Ortogonalizarea proces și construi un sistem ortogonal de vectori. Fie P matricea de tranziție de la un sistem la altul. Această matrice are o formă triunghiulară, iar pe al diagonalei principale 1 și determinantul său este 1. În plus, și, prin urmare, determinanții matrici Gram egale. Deoarece sistemul de vectori - ortogonale, matricea Gram din acest sistem vector - diagonală și determinant este egală cu produsul pătratelor vectorii sistemului. Astfel, este stabilită egalitatea. Luați în considerare cazul k = 2. Apoi înălțimea paralelogramului este lungimea a scăzut în lateral (vezi. Fig. 1). Prin urmare, produsul egală cu suprafața calibrat de vectorii paralelogramului și determinantul matricei Gram este suprafața pătrată a paralelogramului. Dacă k = 3, vectorul este o componentă ortogonală a vectorului pe planul calibrat de vectorii. Ca urmare, determinantul matricei Gram din cei trei vectori este egal cu pătratul volumului paralelipipedului calibrat de vectorii.
Deoarece toate argumentele pot fi generalizate la dimensiuni arbitrare, aceasta este, prin urmare, stabilită de proprietate.
2.8 determinant proprietatea matricei Gram a unui sistem de vectori este egal cu 0 atunci când sistemul este liniar dependent, și pătratul volumului k-dimensional al paralelipipedului acoperit de o alta.
Ne arată acum inegalitatea Hadamard.
Dovada. Dacă sistemul de vectori este liniar dependent, atunci inegalitatea este evidentă. Fie ca acest sistem este liniar vectori independenți. Este aplicabil procesului de ortogonalizare și construi un sistem ortogonal de vectori. Vectorul este vectorul component ortogonal la intervalul liniară a vectorilor și deci prin Bessel inegalitatea (Teorema 2.2). Mai mult decât atât, ceea ce ne-am dorit să dovedească.
inegalitatea Hadamard devine o egalitate numai în cazul în care sistemul original este vectori ortogonali. În alte cazuri, inegalitatea - strictă.
Corolar 2.5 Inegalitățile și.
Dovada. In n-dimensional aritmetică spațiu definesc formula produsului interior. Să considerăm un sistem de vectori formate prin coloanele matricei A. Matricea Gram a acestui sistem este egal cu vectorii și inegalității Hadamard. Din moment ce este stabilit inegalitatea. Aplicând inegalitatea obținută prin matricea transpusa, obținem.
Corolarul 2.6 Fie. Apoi.
Set și, în continuare, prin inducție. Matricea are o ordine și determinant acesteia este și toate elementele sale egale. Ușor de a vedea că inegalitatea (Corolar 2.6) este atras de această egalitate matrice. 2.6