- 1) N. m. Afișaj Fmnozhestva X punct astfel încât. . Dovada existenței H. t și metode pentru a găsi N. t.- sarcină importantă de matematică, care este, la soluția oricărei ecuații prin conversia la o formă redusă pentru a găsi t afișare N., unde -... Operatorul de identitate. În funcție de ce tip de structură este dotat cu o multitudine de X a și ce proprietăți de afișare F, există anumite principii de punct fix. De cel mai mare interes sunt cazurile în care X topologice. spațiu F- și continuu într-un sens sau un alt operator.
Cel mai simplu dintre aceste principii este principiul de cartografiere contracție. Să X- metric complet. spațiu și operatorul este astfel încât
Apoi, operatorul Fimeet exact un N. tk-paradis poate fi obținut ca o limită a aproximări succesive în mod arbitrar. Acest principiu nu numai pentru a stabili existența H. t. Dar, indică, de asemenea, o modalitate de a găsi ea, și pur și simplu a măsurat viteza de convergență a secvenței În general, condiția (1) nu poate fi înlocuită cu condiția
dar dacă Xkompaktno, condiția (2) continuă să prevadă că operatorul Fedinstvennoy N. t. Mai comun este principiul contracției generalizate. Să presupunem, ca mai sus, X 'termina metric. spațiu și
Apoi, numai Fimeet N. t. Dacă spațiul X Banach, atunci (1) nu este altul decât condiția Lipschitz pentru operatorul Fc o constantă mai mică decât unitatea. Principiul mapping contracție este utilizat pe scară largă pentru a demonstra existența și unicitatea soluțiilor de algebrice, diferențiale, integral, și alte ecuații pentru determinarea aproximativă a soluțiilor acestor ecuații.
Există alte condiții topologice. natura, asigurând existența H. m. de la operatorul F. Cel mai faimos dintre acestea este principiul Schauder. Lăsați spațiu X Banach și F- complet de cartografiere operator continuu delimitate închis convex stabilit pe partea sa. Apoi Fimeet Shotya cel puțin un N. t. Cu toate acestea, în acest caz, problema numărul N. t. Rămâne deschisă, și nu există nici un indiciu cu privire la modul în care locația lor.
Exemplu (teorema lui Peano). Să o funcție în comun continuă în regiune în acest domeniu. În cazul în care, pe segmentul există cel puțin o soluție a ecuației
Ecuația (4) împreună cu condiția (5) este echivalentă cu ecuația integrală
în condițiile teoremei arată mingea într-o complet continuu, iar pe această minge. Prin urmare, prin Schauder principiu există N. m. Operator F, și-cer la o soluție a problemei Cauchy (a se vedea. [4], [5]).
Generalizarea Principiul Schauder este principiul Tihonov. Să X separabile spațiu local convex și F- operator continuu de cartografiere un set compact convexă în sine. Apoi Fimeet cel puțin un N. Shotya tone. Există și alte generalizări ale SCHAUDER, inclusiv display multi-valoare, dar în toate cazurile, este necesar să-și asume convexității setului, fără de care Schauder teorema și generalizările sale sunt false. Poate că o combinație de principiu Schauder și principiul de cartografiere contracție. Operatorul F, care transformă delimitat închis convexă Sbanahova spațiu X în sine, acesta poate fi reprezentat ca în cazul în care F1 - este o continuă și F2 - operator de contractare. Apoi Fimeet puțin un N. tone Shotya.
Principii de tip Schauder pot fi distribuite în operatorii necompact modul următor. Să fie un set de metric complet mărginită. spațiu X. MNC acest set este numit. cea mai mare limită inferioară acestor valori, la k-ryh un -net finit pentru M. Pentru seturi compacte de operatori numite. etanșare, non-compact, în cazul în care pentru orice set mărginit. Să condensare operatorul Fpreobrazuet mărginit închis convex stabilit în sine. Apoi Fimeet Shotya cel puțin un N. adică. Poate fi administrat la alte MNC variind la-, puteți obține diferite variante de teoreme care ne permit să demonstreze existența unor soluții la diferite diferențiale, integrale, și alte ecuații nu sunt complet operatori continue în spații Banach.
Atragerea topologice mai subtile. formulează concepte permite existența unui N. puternic m. Sa pe zona de graniță mărginită de spațiu Mbanahova Xzadano câmp vectorial nedegenerat F, m. e. fiecare punct este atribuit un vector F nenulă (x). Acest câmp în îndeplinirea anumitor condiții pot fi corelate întreg numit. rotație câmp F pe. Să presupunem că prima Xkonechnomerno F și în mod continuu. Apoi, definit ca topologice. gradul otobrazheniyamnozhestva pe unitatea de sferă. Acum lasa spatiu X Banach este infinit și în cazul în care F- complet continuu asupra operatorului. Aceste câmpuri sunt numite. complet continuu.
Să subspatiului dimensiune finită și apropierea destul de bună - proiecția. Dacă suficient de mici pentru a, câmpul de asemenea, în nedegenerata și rotația sa este independentă de alegerea subspatii aproximează și operatorului. Acest număr se numește. rotativ complet continuu câmp vectorial F la limita și este indicată. O proprietate importantă a rotației este că nu se schimba sub transformări omotopie ale câmpului F.