Să presupunem că în spațiul n-dimensional euclidian sunt date o anumită bază. Ne extindem pe vectorii de bază:
în care vectorii coloană coordonatei de vectori în baza ().
Ne exprimăm produsul scalar al coordonatele factorilor:
unde este indicat. Ultima egalitate poate fi rescrisă într-o formă de matrice
Definiția 3.4. Matricea (3.6) se numește ordinea matricei Gram a vectorilor de bază ai sistemului.
Observația 3.3. matrice Gram poate fi construit, în general, pentru orice sistem arbitrar de vectori în spațiul Euclidian. În acest caz, vom obține matricea de ordine:
Formulăm cele mai simple proprietăți ale matricei Gram.
Teorema 3.3. matrice Gram este simetrică ().
# 9633; afirmație rezultă din axiomele spațiu euclidian :. # 9632;
Teorema 3.4 (criteriu Gram dependență liniară a vectorilor). sistem de vector este liniar dependent dacă și numai dacă determinantul matricei Gram a acestui sistem este zero.
# 9633; Necesitate. Lăsați sistemul de vectori este liniar dependent. Apoi, există un număr. printre care există cel puțin o nenulă astfel încât
Multiplicarea ultimul secvențial egalitatea de vector. obținem un sistem omogen format din ecuații:
Determinantul acestui sistem este determinantul matricei Gram a unui sistem de vectori. Deoarece acest sistem are o soluție nontrivial
determinantul matricei Gram a acestui sistem este zero.
Suficiența este dovedită prin efectuarea argumentele în ordine inversă. # 9632;
Teorema 3.5 (modificarea matricei Gram a trecerii la o altă bază). Să stabilite în baze de spațiu euclidian
Legătura dintre matricele Gram pentru aceste baze este descrisă de ecuația
în care matricea de tranziție de la bază la bază.
Dovada este construit pe utilizarea (3.5) și formula de transformare de coordonate la trecerea de la bază la bază.
Exemplul 3.1. In spatiul liniar cu un produs scalar baze definite și:
Înregistrarea Gram matrici pentru baze și. testa fezabilitatea (3.8).
Decizie. Formăm matrici Gram pentru baze și. Calculăm elemente
Aceste matrice. avem
Rezultatul este o matrice
Este ușor de a verifica valabilitatea (3.8), care, în cazul nostru este. unde