Irațional este un număr de număr real. care nu poate fi reprezentat ca o fracție rațională.
Numărul Irațională poate fi reprezentat sub forma unei fracții non-periodice fără sfârșit. Setul de numere iraționale și să desemneze este egală cu :.
De exemplu. Acestea sunt numere iraționale:
- pentru orice întreg pozitiv, care nu este un pătrat perfect;
- pentru orice rațională;
- pentru orice rațional pozitiv;
- , și pentru orice întreg.
Manipulând Numerele iraționale
Pe set de numere iraționale, puteți introduce patru operații aritmetice de bază: plus. scădere. înmulțire și împărțire; dar pentru oricare dintre operațiile de mai sus, setul de numere iraționale nu are proprietatea de închidere. De exemplu, suma a două numere iraționale pot fi numere raționale.
De exemplu. Găsiți suma celor două numere și iraționale. Primul dintre aceste numere este o secvență de unități formate, respectiv, separate printr-un singur zero, două zerouri, trei zerouri, etc. al doilea - secvența de zerouri între care livrată o singură unitate, două unități, trei unități etc:.
Astfel, suma celor două numere este definit număr irațional. care este rațional.
Sarcină. Dovedește că numărul este irațional.
Dovada. Vom folosi metoda probei de contradicție. Să presupunem că un număr rațional, adică, poate fi reprezentat ca o fracție. în cazul în care - sunt relativ prime numere întregi pozitive.
Noi ridica ambele părți ale pătrat, obținem
Un număr este divizibil cu 3. Prin urmare, și deci divizibil cu 3. Având în ecuație poate fi scrisă ca
Din ultima ecuație rezultă că și sunt împărțite în 3, prin urmare, fracția poate fi redusă la 3. Dar pe presupunerea fracțiilor ireductibile. Această contradicție demonstrează că numărul nu poate fi reprezentat ca o fracție și, prin urmare, irațional.
QED.