Du-te la pagina de cuprins 12
graficul funcției este înlocuită cu o tangentă la aceasta într-un punct (x k. f (x k)) și următoarea aproximare x k + 1 este primit abscisa punctului de intersecție cu OX axei sale. Folosind această interpretare proiectați cu ușurință formulele (1.2), metoda Newton și în consecință a acestei interpretări este, de asemenea numită metoda tangentă.
Aici x 0. x 1 x 3 aproximare poledovatelnye la rădăcină X. care rezultă din aplicarea metodei lui Newton.
În mod evident, convergența rădăcinii depinde de proprietățile funcției f (·) și nu se produce întotdeauna. Deci, este ușor să ne imaginăm că, chiar și o aproximație de 1 x nu atinge intervalul inițial și procesul de repetare se oprește.
Dăm teorema utilă, care garantează, în unele cazuri, convergența metodei lui Newton.
Teorema 1.1. Dacă f (a) · f (b) <0, причём f 0 (x) и f 00 (x) отличны от нуля (и, следовательно, сохраняют определённые знаки при x [a, b]), то, исходя из начального приближения x 0 [a, b], удовлетворяющего условию f(x 0 ) · f 00 (x 0 )> 0, poate fi calculată prin metoda lui Newton folosind formula (1.2) x- rădăcină unică a ecuației (1), cu orice grad de precizie.
Observația 1.1. Practic calcul end criteriu este acela că starea | x n + 1 - x n | <ε, где ε – требуемая точность вычисления корня.
Metoda lui Newton - un mod convenabil de a calcula întreaga rădăcină
grad. Deoarece problema extragerii rădăcinii n c este echivalentă cu problema rezolvării ecuației (1) cu funcția f (x) = x n -c, formulele de calcul ale metodei lui Newton presupune forma
Aici, un k. b k - capătul din stânga și din dreapta a intervalului, care deține o rădăcină etapa anterioară X.
La etapa inițială, presupunem o 0 = a, b = 0 b. Să presupunem, pentru definiteness, f (a) <0, f(b)> 0. Dacă x 1 [a, b], calculând apoi c = f (x 1), să presupunem că un 1 = c, b = 1 b 0 când c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 și se repetă calculul.
În cazul în apropierea x 1 luna iunie [a, b], atunci aplicarea formulei (1.3) sau (1.4) și se procedează ca mai sus: calcularea c = f (x 1), să presupunem că un 1 = c, b 1 = b 0 când c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 și se aplică metoda lui Newton.
§ 2. Despre rădăcinile localizare
Dacă ecuația f (x) = 0, funcția f (·) este continuă, baza pentru localizarea rădăcinii este, de obicei, o consecință a teoremei lui Cauchy dacă f (a) f (b) <0, то на интервале [a, b] имеется по крайней мере один корень указанного уравнения (точнее нечётное число корней). Для локализации корня на интервале [a, b] можно применять, например, такие подходы:
• Metoda grafică. Ecuația inițială (1) se reduce la forma g (x) funcția = h (x), sunt reprezentate grafic y = g (x) și y = h (x) și o axă determinată OX interval. care deține abscisa punctului de intersecție a graficelor. El a folosit pentru a clarifica rădăcină.
Du-te la pagina de cuprins 12
• Du-te prin. Interval [a, b] este împărțită în
N segmente egale și valorile calculate ale funcției f (·)
la punctele x k = a + kh, k = 0, 1 N, unde h = (b - a) / N.
În cazul în care, în acest caz, există un interval de [x k. x k + 1] pentru care f (x k) f (x k + 1) <0, то тем самым корень функции будет локализован с точностью h/2. Может оказаться, что функция f(·) не меняет знака на последовательности . Если корень на [a, b] существует, то последнее означает, что шаг h слишком велик и его следует заменить на меньший, полагая, например, N = 2N.
• Căutare cu un pas variabil. Dacă funcția f (x) este Lipschitz, adică
| F (x 0) - f (x 00) | ≤ L | x 0 - x 00 |, x 0. x 00 [a, b],
puteți construi o secvență de forma:
0 x = a, x k + 1 = x k + | f (x k) |. L
Motivul pentru acest lucru poate fi faptul că, atunci când f (x) = cx + d, se poate presupune L = | c | și în acest caz, valoarea x 1. produsă prin metoda satisface ecuația f (x) = 0.
Dacă L este necunoscut, acesta poate fi înlocuit cu
L = k | f (x k) - f (x k-1) |.
• Utilizați majorants. Dacă știm funcția de evaluare privind f (·) [a, b], adică,
și rădăcinile x - și x + aceste funcții,
Exemplul 2.1. Fie f (x) = sin x + x 3 - 2, x [0, π]. ca
la un interval specificat 0 articole similare