În această secțiune vom zaymomsya numărarea numărului de „șansă“. Numărul de șanse de a spune, atunci când există mai multe rezultate posibile ale unei acțiuni (de a scoate cardul de punte, zaruri sau se clatina monede). Numărul de șanse # 151; este numărul de moduri de a face această acțiune sau, echivalent, numărul de posibile rezultate ale acestei acțiuni.
Să o acțiune se poate face în cinci moduri, iar celălalt # 151; doi. Cât de multe moduri se poate face un cuplu de aceste acțiuni?
Teorema 1. Fie setul este format din elemente, și o multitudine de # 151; a elementelor. Apoi poate fi format abur exact, luând primul element al pluralității, iar al doilea # 151; din setul.
Observația 1. Putem formula Teorema 1, după cum urmează: în cazul în care primul element puteți alege modul în care, și al doilea element # 151; moduri, un cuplu de elemente pe care le puteți alege moduri.
Dovada. Cu elementul putem forma perechi. Același număr de perechi pot fi formate cu elementul, același # 151; cu elementul și cu orice alt set de elemente. Ie toate perechile posibile în care primul element este selectat din pluralitatea, iar al doilea # 151; din setul.
1. Exercitiul Folosind Teorema 1 arată că: a) când moneda arunca trei posibile 2 · 2 · 2 = 8 rezultate diferite; b) o matriță de turnare de două ori obține 6 · 6 = 36 rezultate diferite; c) numere cu trei cifre este de 9 x 10 x 10 = 900; g) numerele de trei cifre, toate numerele sunt diferite, există o 9 × 9 × 8; d) numere din trei cifre, chiar posibile 9 · 10 · 5.
Există urnă (cutie) conținând obiecte numerotate (bile). Am ales din această urnă de bile; rezultatul selecției este un set de bile. Suntem interesați cât de multe moduri în care puteți alege bilele din sau cât de multe rezultate diferite se poate întâmpla. Această întrebare nu se poate da un răspuns clar până când trebuie să se determine: a) cum să se organizeze alegeri (dacă bile pot fi returnate în caseta), și b) la ceea ce se înțelege prin diferitele rezultatele alegerilor.
Luați în considerare posibile următoarele metode de alegere.
1. Selectarea retur: fiecare minge dus înapoi la urna de vot, fiecare minge de lângă ales din caseta completă. Setul rezultat de camere bile pot îndeplini aceleași numere. 2. Alegerea fără întoarcere: bilele îndepărtat în urnă nu vor fi returnate, iar în setul rezultat nu poate îndeplini aceleași numere.
Condiții ca selectarea (seturi de camere bile), vom lua în considerare diferite. Există exact două posibilități.
1. Selectarea ordinii, luând în considerare: cele două seturi de camere bile sunt considerate diferite dacă acestea diferă în compoziție sau ordine numerică. Astfel, selectarea trei bile din urna care conține 5 bile, seturile (1, 5, 2), (2, 5, 1) și (4, 4, 5) sunt diferite, în cazul în care comanda este considerată. 2. Selectarea cu excepția comenzii. două seturi de camere bile sunt considerate diferite dacă acestea diferă în compoziție. Seturi, diferite numai în ordinea numerelor sunt considerate egale.
Astfel, seturile (1, 5, 2) și (2, 5, 1) nu diferă în formă una și același rezultat de selecție, în cazul în care comanda nu este luată în considerare.
Calculați cât de multe rezultate posibile diferite pentru fiecare dintre cele patru circuite de selecție (de selecție, cu sau fără întoarcere, și în fiecare caz # 151; ținând cont de ordinea sau nu).
Exercitiul 2. Lista toate rezultatele posibile în fiecare dintre cele patru circuite, atunci când două dintre cele patru baloane. De exemplu, selectarea întoarcere și fără a ține cont ordinea (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 3), (3, 4), (4, 4).
Teorema 2. Numărul total de seturi diferite atunci când selectarea elementelor din returnarea și fără a lua în considerare ordinea este egală
și a cerut numărul de plasare a elementelor elementelor.
Dovada. Prima minge puteți alege calea numărul său # 151; oricare dintre posibile. Pentru orice alegere de prima minge există o modalitate de a alege a doua minge. Teorema 1 numărul de posibile perechi de
oricum. Pentru fiecare astfel de pereche este metoda de a alege a treia minge. Prin Teorema 1 numărul de posibile triplete
este egal cu numărul de perechi și numărul de moduri de a alege mingea a treia, adică oricum. Continuând argumentul, constatăm că numărul total de posibile seturi de bile egale. În această lucrare, factorii de ultimul factor este numărul de moduri de a alege mingii lea, când a selectat mai devreme.
Corolarul 1. Dacă setul de elemente, atunci există exact permutarea acestor elemente.
Dovada. permutare # 151; fără a se întoarce rezultatul selecției și ținând cont de ordinea elementelor. Prin urmare, numărul total de permutări de același
Exercitarea 3. Găsiți cât de multe posibile rezultate diferite în următoarele experimente: a) dintr-un pachet de 36 de carduri fără întoarcere, ținând cont de ordinea eliminate trei cărți; b) Ioan, Petru, Olya și Lena a luat unele patru din zece locuri în clasă; c) din alfabetul românesc alege patru litere diferite alcătuiesc cuvântul; r) din diferite cifre nu sunt egale cu zero, numărul de trei cifre trase.
TEOREMA 3. Numărul total de seturi diferite de selectare a elementelor fără întoarcere și egal fără a ține cont de ordinea
și a cerut numărul de combinații ale elementelor elementelor.
Dovada. Corolar 1. Sub diferite numere de bile sunt evaluate moduri. Prin urmare, în fiecare set, selectat fără înlocuire și fără a ține cont de ordinea, putem forma seturi, care diferă unele de altele ordinea numerelor. Ie în alegerea să nu se întoarcă și având în vedere ordinea este posibilă în ori mai multe seturi decât atunci când excluzând comanda. Prin urmare, numărul de seturi în selecția fără a ține cont de ordinul este egal cu
Exercitarea 4. Găsiți cât de multe posibile rezultate diferite în următoarele experimente: a) dintr-un pachet de 36 de carduri fără întoarcere, fără a ține cont de ordinea scoate trei cărți; b) din alfabetul românesc arunca patru litere.
Teorema 4. Numărul total de seturi diferite atunci când selectarea elementelor din returnarea și ținând cont de ordinea este egal.
Dovada. Prima minge puteți alege moduri. Cu fiecare dintre aceste metode a doua minge, de asemenea, posibilitatea de a alege moduri, și așa de timp. Numărul total de seturi de aceeași.
Exercitarea 5. Găsiți cât de multe posibile rezultate diferite în următoarele experimente: a) dintr-un pachet de 36 de cărți de trageți cartela de trei ori, ținând cont de ordinea și întoarcerea; b) un număr din cinci cifre extrase din unul dintre numere impare; c) maimuță tastat un cuvânt de zece litere.
Să considerăm o urnă cu două bile numerotate și lista rezultatelor selecției de două bile din această urnă în selecția cu întoarcere.
ținând cont de ordinea
fără a ține cont de ordinea
Vedem că în schema „fără a ține cont de ordinea“ obține trei rezultate diferite, în comparație cu patru rezultate în schemă, „având în vedere ordinea.“ Rețineți, de asemenea, că orice divizare în „numărul de ceea ce unii dintre permutări“, care a ajutat să scape de cont cu privire la alegerea fără întoarcere, numărul 3 din numărul 4 nu va putea primi.
Teorema 5. Numărul total de seturi diferite atunci când selectarea elementelor de întoarcere și fără egal în ceea ce privește ordinea
Exercitarea 6. Verificați dacă se transformă 3 lin.
Dovada. Considerăm că în detaliu diferă unele de altele două rezultate diferite ale unei astfel de circuite de selecție. Nu ne interesează ordinea numerelor, adică luăm în considerare doar numărul de ori în setul nostru de numere au apărut bile fiecare cameră. Prin urmare, rezultatul selecției poate fi reprezentat printr-un set de numere, în care # 151; numărul de apariții într-un număr set de bile, și. Numerele sunt la fel de. Două rezultate ale selecției în circuitul de selecție pentru returnarea și fără a lua în considerare ordinea este diferită, în cazul în care seturile corespunzătoare nu se potrivesc (ordinea elementelor luate în considerare).
Imaginați-vă un alt experiment, care are exact aceleași rezultate, și să le numeri. Există cutii, care sunt plasate bile. Suntem interesați numai în numărul de bile în fiecare cutie. Rezultatul experimentului este din nou set de numere, în cazul în care este numărul de bile într-o cutie cu un număr, și. Numerele iau valori întregi sau zero.
Acum vom descrie rezultatul unei astfel de plasare a unui circuit, în care liniile verticale indică peretele despărțitor dintre casetele și punctele # 151; bilele sunt în casetele:
Noi vedem rezultatul plasarea de nouă bile cu șapte sertare. Prima cutie cuprinde trei bile, a doua și a șasea cutiile sunt goale, al treilea sertar cuprinde o minge în a patra și a cincea casetele se sprijină pe două bile. Shift o minge din prima casetă în al doilea și descriu în același mod două mai mult rezultatul adăugării:
Vedem că toate de cazare pot fi obținute prin schimbarea reciproc bile și pereți, sau introducerea bilele de pe teren. Numărul este obținut după cum urmează: Cutia are exact o partiție, având în vedere extreme, dar ele se pot deplasa numai partiția interior. Astfel, există locuri pe care le puteți împrumuta bile sau partiții interne. După ce a trecut prin toate căile posibile de a aranja bilele în aceste locații (umplerea partițiile spațiale rămase), itera prin toate încăperile de locuit necesare.
Rămâne să se constate că modul de a plasa mingea pe teren acolo
Că există atât de multe moduri de a alege camere scaun locuri numărul de bile.
Exercitiul 7 a) Găsiți numărul de moduri de a se descompună un întreg într-o sumă de termeni nenegative, în cazul în care ordinea importanței acestor termeni. b) Găsiți numărul de diferite instrumente derivate ale variabilelor de comandă ale funcției. c) Găsiți numărul de rezultate posibile ale clatina două zaruri, în cazul în care oasele sunt considerate imposibil de distins. Același lucru este valabil și pentru cele trei zaruri.