Fie V - spațiu euclidian cu produsul interior (x, y), W - subspațiul V.
Setul tuturor vectorilor x. ortogonală tuturor vectorilor în W. este notat, este numit complementul ortogonal al subspatiului W. Să ne descrie proprietățile complementului ortogonale.
Proprietatea este 2.3. - subspatiu liniar al V.
Dovada. Să presupunem, apoi, și egalitati. Din aceste ecuații obținem egalitatea și ceea ce este. Proprietatea este astfel dovedită.
Dovada. Noi construim o bază ortogonală pentru subspatiului W și extindă la o ortogonale vectori de bază de vectori ortogonali întregului spațiu V., și, prin urmare, orice vector de W. Prin urmare, vectorii aparțin complementul ortogonal W. descompune un vector x arbitrar la baza și să își asume. Deoarece x = y + z, apoi setați la egalitate.
Arătăm că suma este directă. Lăsați apoi (x, x) = 0 ca produsul scalar al vectorului W de vectorul de complement ortogonal al vectorului W. Singura lungime zero este 0, și deci intersecția conține doar vectorul zero și valoarea liniei.
Acest lucru rezultă din proprietățile sumei directe a subspații.
Orice vector x poate fi reprezentat în spatiul V ca suma y vectorul W și subspațiul vectorul z, în care vectorii y și z sunt determinate în mod unic. Vectorul y se numește proiecția ortogonală x și notate la W, iar z vectorul - componenta ortogonală a vectorului x, și este notat. Pe modalitățile de construire a proiecției ortogonale și componenta ortogonale va apela la 2.6.
Dovada. Aplicarea Corolarul 2.4, obținem. Fie x - W. arbitrara vector In ceea ce produsul interior vector aleator (x, y) = 0 ,. Acest lucru arată includerea care, în virtutea dimensiunilor potrivite derivă egalitate.
Să W. bază Vectorul z aparține complementul ortogonal W dacă și numai dacă, ...,. Să baza V. In coordonatele, aceste ecuații sunt transformate într-un sistem de ecuații liniare. Luând complement ortogonale ca W să-l, obținem următorul rezultat.
Proprietatea este 2.6. Orice subspatiu poate fi dată de un sistem de ecuații liniare omogene.
Dacă o bază ortonormală, coeficienții necunoscutelor în sistemul de ecuații liniare sunt coordonatele vectorilor de bază ale complementului ortogonale.