partiție schematică primele câteva numere chiar și într-o sumă de simplu
Una dintre aceste probleme a fost așa-numita problemă de prim-gemene. Despre aceasta, „Lenta.ru“, a scris deja în detaliu. Pe scurt, esența problemei este aceasta: trebuie să dovedească faptul că numărul de numere prime p, q, astfel încât p - q = 2 este infinit. În sensul problemelor aditive sunt rezolvate problema unui număr infinit de două concepte ca diferența a două numere prime. Însăși problema încă nu a putut fi rezolvată, dar matematicianul american Ethan Zhang a luat un pas important: se dovedește că există un întreg N, astfel încât o multitudine de perechi de numere prime p, q condiția c p - q = N este infinit. Acesta a fost un pas important inainte, deoarece anterior nu a fost cunoscut dacă infinit mai multe astfel de perechi, cel puțin pentru o parte din N.
O altă problemă, care, în contrast cu numărul de gemene, a fost complet rezolvată, a fost așa-numita ternar sarcină Goldbach.
Constată în marja
La sfârșitul scrisorii, deja în domeniile, Goldbach a scris următoarea ipoteză: „Fiecare număr întreg mai mare decât două pot fi exprimate ca suma a trei numere prime“ (matematician german, în contrast cu conceptele teoriei numerelor moderne, foarte puțini, de asemenea, un număr prim). Într-o scrisoare de răspuns Euler Goldbach reamintește că, mai devreme într-o conversație privată și-a exprimat o ipoteză similară: că fiecare număr întreg, chiar poate fi exprimată ca suma a două numere prime. În același timp, Euler a fost convins că „acest lucru este, fără îndoială, teorema adevărată“, dar a spus că a făcut „nu este în măsură să dovedească.“ Astfel sa nascut ipoteza Goldbach, chiar mai precis cele două ipoteze simultan.
Conținut legat
Matematica mai aproape de rezolvarea problemei de numere prime gemeni
Prima se numește ternar (sau slab) conjectura lui Goldbach. Ea pretinde că fiecare număr întreg impar mai mare de cinci este reprezentat ca suma a trei numere prime (nu neapărat distincte). La rândul său, binar (sau puternic) Goldbach conjectura afirmă că fiecare număr întreg mai mare decât doi este suma a două numere prime (nu neapărat distincte). Această ipoteză este numită puternic, deoarece cei slabi din aceasta rezultă că, prin adăugarea de toate cele trei numere chiar, putem obține toate număr impar posibil mai mare de cinci.
Arc mari și mici
Până la începutul secolului XX conjectura lui Goldbach, împreună cu ipoteza Riemann, a devenit una dintre problemele centrale ale teoriei numerelor, chiar și intră în faimoasa problema 8-lea Hilbert.
Un progres în soluționarea acestei probleme a fost făcută de matematicieni britanici Garoldom Hardi si John Littlewood. Apoi au studiat problema Waring (din care sa menționat mai sus). Dezvoltarea ideilor lui Hardy și Ramanujan Sirivasa inerente în lucrările lui 1916-1917, matematicienii britanici au creat așa-numita metodă de cerc. Esența ei este după cum urmează: Soluția problemei (de exemplu, numărul de moduri de a reprezenta un număr întreg ca suma a trei numere prime) este dată de integrala pe cercul unitate dintr-o anumită serie. Acest integral este împărțit în două, una dintre care este estimat, și despre un alt dovedit micimea relativă. Componentele prima sumă sunt numite arcade mari, iar al doilea - mic.
În cazul în care cititorul dat pe acest loc, iată cum această tehnică într-un interviu cu „Lentoy.ru“, a explicat Harald Helfgott: „Analiza numărului de decizii luate, de fapt, prin intermediul unei transformări Fourier. Imaginați-vă că amorsează - sună la o înregistrare, de exemplu, la punctele de timp de 2, 3, 5, 7, 11 microsecunde și așa mai departe. După conversie, veți obține un fel de zgomot, în cazul în care încercați să asculte muzică. Printre ei sunt cei care pot auzi destul de bine - acesta este un arc mare. Și există frecvențe care sunt doar de zgomot fragmente - un arc mic. Întreaga metodă este împărțit în două părți - selectarea muzicii, și dovada că restul este de fapt zgomot. În prima parte a metodei de evaluare a satisface arc lung, în al doilea - pe mici ".
Folosind metoda lui, Hardy și Littlewood au putut dovedi ternar conjectura lui Goldbach. Cu toate acestea, dovezile lor a fost una, dar este extrem de defect semnificativ, care, de fapt, a trecut în toate lucrările: în articol, s-au bazat pe nedovedită ipoteza Riemann generalizate. Pe scurt, aceasta este o declarație cu privire la soluțiile ecuației - în conjectura afirmă că toate aceste soluții se află pe o linie dreaptă în avion. Această afirmație este atât de complex încât nu a fost dovedit până în prezent, și versiunea sa simplificată (cunoscut doar ca ipoteza Riemann) se află pe lista problemelor Institutului Millennium Clay pentru rezolvarea fiecare dintre care se bazează pe un milion de dolari. Gilbert, chiar a glumit că, dacă el a mers la culcare și m-am trezit după 500 de ani, primul lucru pe care l-ar întreba dacă ipoteza sa dovedit Riemann.
Manuscris Kristiana Goldbaha
Metoda Hardy și Littlewood a fost îmbunătățită de matematicianul sovietic Ivan Vinogradov. Datorită acestui fapt, în 1937, Vinogradov fără a utiliza ipoteza Riemann este dovedit aici este un fapt: toate numerele întregi impare, începând cu unele N, pot fi reprezentate ca suma a trei numere prime. „Poate că evaluarea a fost pe arcele mici realizare majoră Vinogradov. De fapt, în metoda de cerc este cea mai grea parte, și evaluarea Vinogradov la momentul au fost pur și simplu uimitoare - au fost rezultatul unui raționament combinatorie extrem de non-triviale. Pentru a evalua arc mare a folosit metodologia este foarte asemănătoare cu cea care a fost în Hardy și Littlewood „- a spus Helfgott.
S-au dovedit - nu sa dovedit
Înainte de a continua povestea, face o digresiune importantă. Din acest moment (de exemplu, din 1937) matematica sovietice și prietenos se simt problema ternar Goldbach rezolvată, în timp ce matematicieni străini nu sunt de acord cu acest lucru. Din păcate, regulile sunt numite străini în ciuda faptului că Vinogradov a făcut o treabă unică, în cele din urmă problema nu a fost rezolvată. În primul rând, Vinogradov nu a estimat numărul N. Când a fost făcut de către elevul său Constantine Borozdin a demonstrat că limita de N în Vinogradov este numărul de 10 6846 168. Verificarea Chiar și numerică pe calculatoarele tuturor „stânga“ de cazuri în Vinogradova nu este posibil. O medie (și această a doua), aceste numere se pot trage cu urechea contraexemplu la ternar ipoteza Goldbach. Și nimeni să nu credea în existența unui astfel de contraexemplu, sarcina nu a putut fi considerată ca fiind rezolvată.
De atunci, mulți matematicieni au încercat să îmbunătățească rezultatul Vinogradov. Ideea din spatele tuturor acestor încercări a fost destul de simplu: pentru a îmbunătăți estimarea, pentru a se asigura că N a devenit destul de mici. „Suficient de mică“, în acest caz, presupune o valoare pentru care Goldbach ipoteză poate fi verificată pe PC.
„Trebuie să spun că apariția lucrării Tao dedicat cinci numere prime, ma stimulat. Am avut ocazia de a reuni toate ideile pe care la momentul respectiv am acumulat peste ternar conjectura lui Goldbach. Rezultatul acestei fost de lucru. pe arce mici. Un alt an a plecat la munca mea pe arce mari „- a spus Helfgott.
Rezultatul a fost lucrari Helfgott studiul 133 de pagini, care conține toate evaluările necesare. Principala teorema este după cum urmează: toate numerele intregi impare mai mari de 29. 10 poate fi reprezentat ca suma a trei numere prime. Anterior declarație Goldbach presupuneri a fost verificată (de Helfgott în colaborare cu Davidom Plattom) la 8875 x 10 30. Împreună, aceste două fapte dau dovada definitiva a ternar conjectura lui Goldbach. Este demn de remarcat faptul că noua lucrare se bazează pe metode numerice sunt încă în același loc: pentru dovada a trebuit să verifice ipoteza Riemann menționat deja generalizată pentru un număr suficient de mare de rădăcini. Acest lucru a fost făcut Davidom Plattom.
„Am ajutat Platt - a spus Helfgott - l-a bătut timp pe supercalculatoare la diferite locații. Cu toate acestea, calculele sale sunt necesare nu numai pentru această problemă - acestea vor fi utile și în alte domenii ale matematicii ".
problemă binară Goldbach
Un alt rezultat interesant este teorema Chen - afirmă că orice număr par poate fi reprezentat fie ca o sumă a două sume simple sau la fel de simplu și semisimplu (număr compus din produsul a două prim).
Metoda de cerc nu funcționează pentru probleme binare - efectul de arce mici nu este prea puternic. În 1930, Leo Shnirelman a arătat că fiecare număr par poate fi reprezentat în valoare de nu mai mult de simplu, în cazul în care C - o constantă. Inițial a fost foarte mare în 1969, matematician sovietic Klimov a arătat că C nu depășește 6 miliarde de euro.
Înșiși matematicieni cred că soluția la problema puternică Goldbach este încă departe.