§41. Proprietățile rădăcinii gradul n-lea
Pentru a utiliza cu succes în practică, operația de extragere a rădăcinii. trebuie să se familiarizeze cu proprietățile acestei operații, pe care o vom face în această secțiune.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedită numai pentru valori non-negative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinilor.
Dovada. Vom introduce următoarea notație: Trebuie să arătăm că pentru numere întregi non-negative, x, y, z, egalitatea x-UZ.
deoarece
Deci, Cu toate acestea, în cazul în care o putere de două numere întregi non-negative și exponenți sunt egale, egale și baza puterii; prin urmare, egalitatea x n = (ux) n care x-ux, care urma să fie dovedită.
Iată o scurtă înregistrare a dovezii.
1. Teorema 1 este valabil pentru cazul în care radicand este produsul de mai mult de două numere non-negative.
2. Teorema 1 poate fi formulată folosind construcția „dacă ceva“ (așa cum se obișnuiește pentru teoreme în matematică) da o formulare adecvată: .. Dacă a și b - întregi ne-negative, egalitatea următoarea teoremă este bine aranja.
O scurtă (dar inexact) formulare, care este mai convenabil să se utilizeze în practică: rădăcina fracțiunii este fracțiunea din rădăcini.
TU, desigur, a atras atenția asupra faptului că două proprietăți dovedite ale rădăcinilor de grad n este o generalizare a celebrului curs de algebră grad 8 pătrați rădăcini proprietăți. Și dacă celelalte proprietăți ale rădăcinilor de gradul n-lea nu a fost, așa cum a fost simplu (și nu foarte interesant). De fapt, există mai multe proprietăți interesante și importante, pe care le vom discuta în această secțiune. Dar, mai întâi, să ne ia în considerare câteva exemple de utilizare a teoremelor 1 și 2.
Exemplul 1. Se calculează
Decizie. Profitând de proprietatea primelor rădăcini (Teorema 1), obținem:
Remarca 3. Este posibil, desigur, acest exemplu este rezolvată într-un mod diferit, mai ales dacă aveți un calculator la îndemână: multiplica numărul de 125, 64, I27, și apoi se extrage rădăcina cub a produsului rezultat. Dar, vedeți, soluția propusă este „inteligent“.
Exemplul 2. Se calculează
Decizie. Lăsați un număr mixt pentru fracțiune necorespunzătoare.
Avem (Teorema 2) Folosind a doua caracteristică a rădăcinilor, obținem:
Exemplul 3. Se calculează:
Decizie. Orice formulă în algebră, după cum bine știți, este nu numai „la stânga la dreapta“, dar, de asemenea, „dreapta“. Astfel, primele rădăcini ale mijloacelor de proprietate care pot fi reprezentate în formă, și invers, poate fi înlocuită cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Având în vedere acest lucru, efectuați calculul:
Exemplul 4. Efectuați pașii:
Decizie. a) Avem:
b) Teorema 1 ne permite să multiplice numai rădăcinile același grad, adică, Numai rădăcinile aceluiași indicator. De asemenea, servește pentru a se multiplica rădăcină de gradul 2 dintre rădăcină și la al 3-lea gradul de același număr. Cum de a face acest lucru, nu știm încă. Ne întoarcem la această problemă mai târziu.
Continuăm proprietățile radicali de studiu.
Cu alte cuvinte, pentru a construi o rădăcină la o putere naturală, suficient pentru a ridica acest grad radicand.
Aceasta - o consecință a Teorema 1. De fapt, de exemplu, pentru k = 3 obținem: În mod similar, putem argumenta în cazul oricăror altor valori naturale ale indicelui k.
Observația 4. Să ne traducem spiritul. Ce am învățat prin teoreme dovedite? Am aflat că cele patru operații pot fi efectuate pe spate: inmultire, impartire, ridicarea la putere și extract de rădăcină (de la rădăcină). Și ce se întâmplă cu adunarea și scăderea rădăcini? Nimic. Am vorbit despre acest lucru din nou în clasa a 8-a cu privire la exploatarea de extragere a rădăcinii pătrate.
De exemplu, în schimb nu se poate scrie, de fapt, dar este evident că fii atent!
Poate cea mai interesantă caracteristică a rădăcinilor - acest lucru este ceva care va fi discutat în următoarea teoremă. Având în vedere importanța deosebită a acestei proprietăți, ne permitem să încalce anumite declarații de stil și dovezi dezvoltate în această secțiune, astfel încât formularea teoremei 5 a fost un pic „mai moale“, iar dovada - este de înțeles.
(Indicatori Root și radicand împărțit la 4);
(indici Root și radicand împărțit la 3);
(figurile Root și expresia radical înmulțit cu 2).
Dovada. Notăm partea stângă a acestei scrisori egalitate Apoi, prin definiție a rădăcinii trebuie să aibă egalitatea
Notăm partea dreaptă a identității solicitate din scrisoarea:
Apoi, prin definiție, rădăcina egalității
Ridicăm ambele părți ale ultimei ecuații în aceeași putere de p; obținem:
Deci, (a se vedea. Ecuația (1) și (2)),
Comparând aceste două ecuații, putem concluziona că x = y n p n p. De aceea, x = y, după cum este necesar.
Teorema de mai sus ne permite să rezolve problema cu care ne confruntăm în relațiile cu exemplul de mai sus 5, care a fost necesară pentru a realiza multiplicarea rădăcinilor cu diferiți indici:
Acesta este motivul pentru care de obicei în astfel de cazuri.
1) Prin Teorema 5 în rata de expresie posibilă și rădăcini (adică, numărul 2) și radicand component (adică, numărul 1) este multiplicat cu aceleași numere întregi. Folosind aceasta, vom multiplica ambele cifre 3; obținem:
2) Prin Teorema 5 în rata de expresie posibilă și rădăcini (adică, numărul 3) și indicatorul radicand (adică, numărul 1) este multiplicat cu aceleași numere întregi. Folosind aceasta, vom multiplica ambele valori de 2; obținem:
3) Deoarece rădăcinile au primit același grad 6-lea, este posibil să le înmulțească:
Notă 5. Nu uitați că rădăcinile tuturor proprietăților care sunt discutate în această secțiune, considerăm numai cazul în care variabilele iau numai valori non-negative? De ce a fost necesar pentru a face o astfel de restricție? Deoarece rădăcina puterii a nth unui număr negativ nu face întotdeauna sens - este definit numai pentru valori impare ale lui n pentru aceste valori ale indicelui de rădăcină considerate proprietăți ale rădăcinilor și adevărate în cazul radicands negativ ..
AG Mordkovich Algebra Grad 10
Dacă aveți corecturi sau sugestii la această lecție, vă rugăm să ne contactați.
Dacă doriți să vedeți alte ajustări și sugestii pentru lecții, uita-te aici - Forumul Educațional.