numere naturale
Punct de vedere istoric, primul orice număr natural $ N $, ca urmare a perdmetov de conversie. O mulțime de aceste numere este infinit, și formează un număr natural $ N = \ $. În acest set de operații fezabile de adunare și înmulțire. Pentru a efectua operația de scădere necesare număr nou, care a condus la setul de numere întregi: $ Z $. $ Z = N _ + \ ceașcă N_- \ ceașcă \ $. Astfel, setul de numere întregi efectua întotdeauna plus, multiplicare, scădere.
numere raționale
Necesitatea de a efectua diviziune a dus la setul de numere raționale $ Q $. $ Q = \, m \ în Z, n \ în N \> $.
Definiția. Două numere raționale sunt: $ \ frac = \ frac $ - în cazul în care $ M_1 \ cdot n_2 = N_1 \ cdot m_2 $. Acest lucru înseamnă că fiecare număr rațional poate fi exprimat în mod unic în formă de fracție nesokratmoy $ \ frac $. $ GCD (m, n) = 1 $.
Proprietăți ale setului de numere raționale
1. Ca urmare a operațiilor aritmetice cu numere raționale (adunare, înmulțire, scădere, divizare, cu excepția diviziunii de la zero), se obține printr-un număr rațional.
2. Setul de numere raționale comandate, adică pentru fiecare pereche de numere raționale $ a $ și $ b $ sau $ un
3. Setul de numere raționale strâns, adică pentru fiecare pereche de numere raționale $ a $ și $ b $ există un număr rațional $ c $, $ a care Orice număr rațional pozitiv poate fi întotdeauna reprezentat ca o zecimală, fie finit sau infinit periodice. De exemplu: $ \ frac = 0,6 $, $ \ frac = 0333. = 0, (3) $. $ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_kb_1b_2b_3. b_nb_1b_2b_3. b_n. $. $ B_1b_2b_3. b_n. $ - denumit punct zecimal perioadă în care nu toate b_i $ = 0 $. Rețineți că fracțiunea finală poate fi scrisă ca un periodic infinit cu zero în perioada. $ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_k000000. $, $ A_k \ Ne0 $. Cu toate acestea, alte reprezentare mai comună a numerelor raționale în formă zecimală: $ \ Frac = a_0, a_1a_1. (A_k-1) 999. $. Negativ numere raționale $ - \ frac $ zapisyvayutsyav zecimale extinderile numere raționale de forma $ \ $ Frac, luate cu semnul opus. Numărul $ 0 $ este reprezentat sub formă de $ 0000. $. Astfel, orice număr rațional poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție zecimală infinită ce nu conține periodic $ $ 0 în perioada cu excepția numărului de $ 0 $. O astfel de reprezentare numai. Setul de numere raționale este închis în cele patru operații aritmetice. Cu toate acestea, setul de numere raționale nu este întotdeauna cazul deciziilor printr-o simplă ecuație de forma $ x ^ 2-n = 0 $. Prin urmare, este nevoie de numere noi. Arătăm că printre numerele raționale fără număr a cărui pătrat este egal cu trei. Dovada este prin metoda de contradicție. Să presupunem că există un număr rațional $ \ frac $ astfel încât pătrat său este de trei: \ $ din stânga (\ frac \ dreapta) ^ 2 = 3 \, \, \, (1) $. Presupunem o fracțiune de $ \ frac $ ireductibilă. Partea dreaptă a ecuației (2) este divizibil cu 3. Mijloace si $ m ^ 2 $ divizibilă cu 3, deci $ m $ divizibilă cu 3, ceea ce înseamnă că $ m = $ 3k. Membri supleanți în ecuația (2), obținem: Partea stângă a ecuației $ (3) $ este divizibil cu $ 3 $, prin urmare, partea dreapta este divizibil cu $ 3 $. Prin urmare, $ n ^ 2 $ este divizibil cu $ 3 $, deci $ n $ este divizibil cu $ 3 $, unde $ n = 3p $. Rezultatul este: $ \ frac = \ $ Frac, adică o fracțiune $ \ frac a fost de $ retractabil, ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare, printre un astfel de număr rationale a cărui pătrat este egal cu trei. Dar numărul a cărui pătrat este egal cu trei, acolo. Acesta poate fi reprezentat ca o fracție non-periodică infinit. Și avem un nou tip de numere. Noi le numim irațional. Definiția. Numărul Irațional este orice fracție infinită non-periodice. Setul tuturor fracțiunilor aciclici infinite se numește mulțimea numerelor iraționale și este notat cu $ I $. Combinând setul de numere raționale $ Q $ și numere iraționale $ I $ ofera un set de numere reale $ R $: $ Q \ ceașcă I = R $. Astfel, toate numerele reale pot fi reprezentate ca o fracție zecimală infinită: în cazul număr rațional periodice și aperiodice, în cazul unui număr irațional. Pentru numere reale $ a = a_0, a_1a_2a_3 \ ldots a_n \ ldots $, $ b = b_0, b_1b_2b_3 \ ldots b_n \ ldots $ comparațiilor efectuate după cum urmează: 1) Să $ o $ și $ b $ sunt ambele pozitive: $ a> 0 $, $ b> 0 $, atunci: $ A = b $, dacă pentru orice $ k $ $ a_k = b_k $; $ A> b $, dacă $ \ există s $ $ \ forall k 2) Să $ a> 0 $, $ b<0$, или иначе: $b<0 3) Să $ o $ și $ b $ sunt negative: $ a<0$, $b<0$, тогда:numere iraționale
numere reale
Compararea numerelor reale