Aici - coeficienții sistemului (primul indice indică numărul ecuației, iar al doilea - numărul necunoscut), - membri liberi.
În cazul în care. sistemul (1) se numește omogen. În cazul în care cel puțin unul. sistemul este numit eterogen.
Soluția (1) este un set de valori necunoscute. inversând toate ecuațiile în egalitatea numerică. SLAE numit rezolvabil (în comun). dacă are cel puțin o soluție. În caz contrar, SLAE numit insolubil (incompatibil). Dacă cel puțin una dintre ecuații nu are nici o soluție Slough, Slough este inconsistentă.
SLAE numit sigur. Dacă există doar o singură soluție și se numește nedeterminată. în cazul în care există mai multe soluții,
Sistemele liniare omogeni sunt întotdeauna coerente, deoarece Are o soluție zero.
Setul de toate soluțiile sistemelor liniare se numește soluția generală. Două sisteme liniare cu același număr de necunoscute sunt numite echivalente (echivalent). În cazul în care seturile de meci de luare. Orice două sisteme liniare incompatibile cu același număr de necunoscute sunt considerate echivalente.
Investigarea și de a rezolva sisteme liniare - aceasta înseamnă:
- instalați, compatibil sau este inconsecventă;
- în cazul în care este compatibil, determina dacă acesta este un definit sau nedefinit, astfel:
- în cazul unui sistem specific pentru a găsi numai soluția acesteia;
- în cazul sistemului nesigur pentru a descrie set de toate soluțiile sale.
numita matrice (miez sau matrice) a sistemului (1).
numita matrice sistem extins (1).
Sistem (1) pot fi scrise sub formă de matrice. unde - matricea sistemului, - vectorul necunoscutelor - vector de membri liberi.
Un caz special de (1) este SLAE constând dintr-o formă a ecuației, de exemplu.
Ecuația forma numită „indiferent“ ecuație ca această ecuație este satisfăcută de orice set de necunoscute.
transformări elementare ale sistemelor liniare sunt numite următoarele transformări:
- schimbare de locuri de două ecuații;
- multiplicarea ambelor părți ale unei ecuații de către un alt număr decât zero;
- adăugând la ambele părți ale unei ecuații porțiuni de o altă ecuație înmulțită cu un număr corespunzător.
Să ne amintim câteva definiții pentru matricea sistemului (1).
Matricea este declarat a fi redusă. Dacă fiecare rând are de la zero non-elementul său de zero, astfel încât toate elementele rămase în coloana care conține acel element sunt egale cu zero. Elementul nenulă menționat este numit un maestru și se va încheia în paranteze unghiulare.
EXEMPLUL 1 Matricea
sunt date, iar matricea
nu sunt date, deoarece în al doilea rând, nu este elementul de conducere.
Rețineți că elementul de conducere într-un rând, nu puteți alege singura cale.
De exemplu, într-o matrice
în primul rând ca lider posibil de a alege orice element non-zero.
Numita rangul de matrice, numărul de linii nenule matrici sale corespunzătoare reduse (notate cu -. O matrice matrice redusă).
Slough a spus să fie redusă. dacă se reduce matricea sa de bază.
Atunci când sistemele de ecuații liniare algebrice în locul sistemelor de rezolvare a ei înșiși sunt adesea evacuate matricea lor extinsă. astfel încât sistemul
corespunde matricei augmented
sisteme liniare de cercetare gauss reduce la construirea cu ajutorul unor transformări elementare ale mai sus Slough, echivalent cu sistemul original, și în continuare cercetarea și deciziile date Slough.
Metoda Gauss' se bazează pe următoarele două teoreme.
TEOREMA 1. SLAE obținute din sistemele liniare inițiale folosind un număr finit de transformări elementare echivalente cu SLAE original.
Teorema 2. Pentru orice SLAE este echivalent cu dat Slough.
Rețineți că, de regulă, având în vedere SLAE, este echivalent cu SLAE inițial, nu determină în mod unic (arăta mai jos).
Studiul a aratat SLAE se imparte in 2 faze.
Etapa 1. Coerența și lipsa de coerență
Dacă extins matricea redusă cuprinde formă șir SLAE. în cazul în care. și anume cuprinde el însuși o ecuație SLAE formă redusă
este incompatibil, deoarece . Prin urmare, inconsistente și Slough original.
Dacă șirul extins cuprinde formă de matrice SLAE. apoi corespunde deja ecuația „indiferentă“, care poate fi abandonat fără a aduce atingere studiu suplimentar, deoarece Obținem sistemul echivalent.
În cazul dat SLAE nu conține ecuații de forma (4), este consistent. În consecință, consecvent și original Slough.
Rețineți că apariția formei ecuației (4), în procesul de construcție mai sus SLAE demonstrează deja incompatibilitatea Slough original.
Etapa 2. Descrierea soluției generale
Fiecare linie are un anumit element de conducere SLAE. Necunoscut, să îndeplinească elementele de conducere, numite conectate. neputându - gratuit. De exemplu, în cazul dat matricea redusă extins. necunoscutele legate de SLAE corespunzătoare va. un drum liber și.
Deoarece fiecare ecuație dată SLAE conține doar unul legat necunoscut, cu toate că nu mod, absentă în celelalte ecuații definite în mod unic, apoi dând valori arbitrare anonime libere, vom determina în mod unic valoarea necunoscutele legate și, prin urmare, decizia Slough. Este clar că disponibilitatea de necunoscut Slough este nesigură și are un număr infinit de soluții.
Descrierea soluției generale este dată după cum urmează. Să presupunem, de exemplu, variabilele asociate și variabile libere, atunci matricea SLAE redusă (până la zero rânduri de aruncat) are forma