În formula, unde x și y - numere reale, să ia x = 0. Obținem o formulă
care se numește formula lui Euler.
Folosind formula lui Euler poate fi orice număr z complex scris în formă exponențială
unde r - modulul unui număr complex, și j - argumentul său.
Dacă formula lui Euler a acestui y înlocui cu -Y. atunci obținem.
relativ confortabil. siny. Adăugăm și scade ecuația, obținem
De aici formulele
7.18. Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene n th ordine cu coeficienți constanți.
Soluția generală a ecuației neomogene, așa cum sa arătat anterior (Teorema 7.4). este suma soluției generale a ecuației omogene și o soluție particulară a ecuației neomogene, t. e.
unde - sunt soluții liniar independente ale ecuației omogene;
- pornind o soluție particulară a ecuației neomogene.
În general, ecuația omogenă diferențială liniară de ordinul n are forma
unde - sunt constante.
soluții particulare ale ecuației omogene se caută sub forma
Instrumentele financiare derivate ale acestei funcții sunt egale
Funcția substitut și derivații săi în ecuația omogenă
Vom împărți această ecuație pentru a obține o ecuație
Această ecuație se numește caracteristica.
Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică de n-lea grad relativ la l. Orice ecuație polinomială de gradul n-lea în planul complex are n rădăcini.
Luați în considerare toate cazurile posibile de soluții ale ecuației diferențiale omogene în funcție de rădăcinile ecuației sale caracteristice.
Cazul 1. Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale diferite.
În acest caz, ecuația diferențială are soluții particulare n liniar independente
Soluția generală a ecuației omogene are forma
unde - constantele arbitrare.
22. Exemplul 7. Găsiți soluția generală a Eq.
Noi alcătuiesc ecuația caracteristică
Ne găsim rădăcinile sale. Avem două decizii private. Scrie soluția generală
Cazul 2. Caracteristica ecuație are o pereche de rădăcini conjugate complexe, unde.
Apoi aceste rădăcini corespund celor două soluții liniar independente complexe conjugate
Dintre aceste soluții este format din două soluții reale liniar independente
Soluția generală a ecuației diferențiale omogene este de forma
Exemplul 7: 23. Găsiți soluția generală a ecuației.
Noi alcătuiesc ecuația caracteristică
Găsiți rădăcinile sale sunt. Ecuația are două soluții particulare liniar independente
Scrie soluția generală
Cazul 3 Caracteristica ecuație este valabilă rădăcină multiplicitate l k.
Apoi, ea corespunde k soluții particulare liniar independente ale ecuației omogene, care au forma
Soluția generală a ecuației diferențiale omogene este de forma
24. Exemplul 7. Găsiți soluția generală a Eq.
Noi alcătuiesc ecuația caracteristică
Are o rădăcină reală multiplicității k = 2. Corespunde două soluții particulare liniar independente.
Cazul 4. Caracteristica ecuație are o pereche de rădăcini conjugate complexe de multiplicitate k.
Apoi aceste rădăcini corespunde 2k soluții particulare liniar independente ale ecuațiilor omogene care au forma
Soluția generală a ecuației diferențiale omogene este de forma
Exemplul 7: 25. Găsiți soluția generală a ecuației
Noi alcătuiesc ecuația caracteristică și pentru a găsi rădăcinile sale.
Û Þ Þ
Ecuația are două rădăcini de multiplicitate k = 2.
Soluția generală este dată de
7.19. O soluție special de ecuații diferențiale liniare neomogene de n th ordine cu coeficienți constanți
Un fel de soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene
Aceasta depinde de tipul de partea dreaptă a acestei ecuații (funcția) și pe valorile rădăcinilor caracteristice ecuație.
Luați în considerare găsirea unei soluții special pentru cele două tipuri de funcții.
Cazul 1. Partea dreaptă a ecuației
unde g - valoare reală - m-lea gradul polinomului.
În acest caz, o soluție specială este căutată în forma
unde - m-lea gradul polinomului,
s - gradul de multiplicare a rădăcinii ecuației caracteristice.
Dacă nu este rădăcina ecuației caracteristice, apoi s = 0.
25. Exemplul 7. Solve ecuație.
Ecuația caracteristică a ecuației omogene are multiplicitatea o radacina 2. De aceea, soluția generală a ecuației omogene are forma
Vom găsi o soluție particulară a ecuației neomogene. Partea dreaptă a ecuației, t. E .. Această valoare nu este o rădăcină a ecuației caracteristice (deci multiplicitatea s = 0). În acest caz, o soluție specială este solicitată în formă. Instrumentele derivate găsi și să le înlocuiască în ecuația originală
Împărțiți această ecuație prin avem. Aici.
Scrieþi particular și soluția generală
26. Exemplul 7. Solve ecuație.
Soluția generală a ecuației neomogene este suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și o soluție particulară a ecuației neomogene.
Noi găsim soluția generală a ecuației omogene. Ecuația ei caracteristică are rădăcini. Soluția generală.
Vom găsi o soluție particulară a ecuației neomogene. Partea dreaptă a acestei ecuații poate fi scris ca
unde exponentul g este o funcție g = 0. Această valoare coincide cu o rădăcină a ecuației caracteristice, t. e. este rădăcina multiplicității s = 1. Prin urmare, o soluție specială se găsește sub formă de
Am găsit derivați ai acestei funcții, și să le înlocuiască în ecuația originală. obține
Echivalând coeficienții de aceleași puteri ale lui x (i) în partea stângă și dreaptă ale ecuației
Obținem un sistem pentru identificarea coeficienților A și B
Prin urmare ,. Scrieți soluția special
Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale
Cazul 2. Partea dreaptă a unei ecuații diferențiale neomogene are forma
unde g și w - valori reale,
și - polinoame de gradul și, respectiv.
În acest caz, o soluție particulară a ecuației diferențiale este solicitată în forma
s - multiplicitate de rădăcina ecuației caracteristice, care coincide cu numărul g în exponent în partea dreaptă a funcției. Dacă g nu coincide cu, apoi s = 0.
27. Exemplul 7. Solve ecuație.
Ecuația caracteristică are rădăcini complexe conjugate. Deci, soluția generală a ecuației omogene are forma
Cautam o soluție particulară a ecuației neomogene. Partea dreaptă a ecuației, r. E. G = 0. Valoarea g = 0 nu coincide cu partea reală a rădăcinilor ecuației caracteristice, deci s = 0. O soluție specială se găsește sub formă de
unde A și B - sunt constante.
Noi găsim derivați să le înlocuiască cu ecuația lor neomogene originală
Echivala coeficienții de sinx și COSX de pe partea stângă și dreaptă ale ecuației. Obținem un sistem pentru identificarea constantelor A și B, și să o rezolve.
Û Û Þ ,.
Scrieți soluția special
și soluția generală