Conversație 5. Concepte matematice și definiții
Orice obiect matematic are unele proprietăți. De exemplu, triunghiul are următoarele proprietăți: are trei laturi; 2) trei unghiul intern; 3) șase perechi de colțurile exterioare egale, și așa mai departe. D. Aceste afirmații despre prezența sau absența obiectului unei proprietăți sunt numite judecăți. Iată câteva exemple de judecăți: 1) un patrulater are două diagonale; 2) pentru fiecare număr natural urmează imediat o serie de alte numere naturale în natură; 3) un număr chiar și divizibil cu doi, și așa mai departe. D.
Hotărârea este de asemenea, sugestii care să indice o relație sau de comunicare facilități, cum ar fi: „5 este mai mare de 3“, „AB este latura triunghiului ABC“, „Unghiul A nu este adiacent la unghiul B,“ etc. Dar întrebări sau cerințe nu sunt .. judecăți.
Printre proprietățile unui obiect sunt esențiale și neesențială pentru definirea sa. Proprietatea este esențială în cazul în care este inerentă în obiectul și nu poate exista fără ea. Proprietăți neesential - este de obicei casual, lipsa acestora, de regulă, nu afectează existența obiectului. Rețineți că soluția problemelor specifice la toate proprietățile obiectelor inconsecvente pot avea o importanță semnificativă pentru rezolvarea acestei probleme.
Să considerăm, de exemplu, un triunghi isoscel prezentat în Fig. 3. Proprietățile sale sunt: 1) laturile AB și BC a triunghiului sunt egale; 2) perpendicular median sol BD AC și împarte în jumătate din unghiul B - este proprietățile esențiale ale triunghiului. Dar proprietăți: 3), baza unui triunghi isoscel ABC AU orizontal sau 4) vârful unui triunghi isoscel este notat cu litera B - sunt irelevante. Dacă am cumva roti triunghiul și baza sa, în același timp, va fi aranjate orizontal sau nu reprezintă partea superioară o altă scrisoare, că, de fapt, nu încetează să mai fie un triunghi isoscel.
Rețineți că, atunci când vorbesc despre obiecte matematice, ei au de obicei în minte întregul set de obiecte notate cu un termen (numele). Așa că, atunci când vorbesc despre obiecte matematice - un triunghi, atunci avem în vedere toate formele geometrice, care sunt triunghiuri. Setul tuturor triunghiuri din volumul conceptului de triunghi. În mod similar, mulțimea tuturor numerelor naturale este cantitatea noțiunilor de număr natural. Prin urmare, domeniul de aplicare al conceptului - un set de obiecte notate cu același termen.
Orice definiție a conceptelor matematice este de obicei construit după cum urmează: în primul rând indicat numele obiectului conceptului, apoi listează astfel de proprietăți importante care vă permit să stabilească dacă acest lucru sau obiect care fac obiectul acestui concept sau nu.
De exemplu, definiția unui paralelogram „paralelogram numit patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.“ După cum se vede, această definiție este construită după cum urmează: în primul rând este numele obiectului definit de conceptul - un paralelogram, atunci este indicat astfel de proprietăți: 1) un paralelogram - un dreptunghi; 2) laturile sale opuse sunt paralele. Prima proprietate - este o indicație a unui concept mai general, care face parte din conceptul definit. Acesta este un concept mai general numit generic în ceea ce privește definirea conceptelor. În acest caz, termenul generic pentru paralelogramului este un patrulater. A doua caracteristică - aceasta este o indicație a proprietăților specifice care sunt diferite de alte tipuri de patrulater paralelogramului. Iată un alt exemplu de determinare: „Chiar si numerele sunt acele numere naturale, care sunt multipli de numărul 2“. Această definiție, precum și cea anterioară, construită în cadrul programului:
În acest caz, am definit conceptul de nume - chiar și numere, concept generic - numere naturale, diferențele de specii - un multiplu de 2.
Definițiile acestui sistem se numește o definiție de gen și diferențele de specii.
Uneori, în matematică există și alte modalități de determinare a conceptelor. De exemplu, ia în considerare definiția unui triunghi: „Triangle numit figura, care constă din cele trei puncte nu se află pe o linie dreaptă, și trei perechi de segmente de legătură.“ În această definiție, este dat un termen generic pentru un triunghi - o cifră, ci ca o specie diferențele indică o metodă de construcție o astfel de formă, care este un triunghi: este necesar să se ia cele trei puncte, care nu se află pe o linie dreaptă, și se conectează fiecare pereche a segmentului. O astfel de definiție se numește genetică (de la cuvântul geneza - originea). Aici este un alt exemplu al definiției genetice: „simetrie în jurul unui punct numit un factor de conversie F în figura F« în care fiecare punct al X figura F se deplasează la punctul X»figura F«construit după cum :. urmează În extinderea OX segment punctul O este întârziată OX segment» . OX este egal. " Aici, ca diferențele de specie în ceea ce privește punctul de transformare de simetrie la alte tipuri de transformări o metodă de construire a formei punctului F“. simetrice figura F în jurul punctului O.
Întâlnite în matematică și astfel de definiții, care indică modul de a obține obiectele definite concepte, unul câte unul, în ordine. De exemplu, definiția unei progresii aritmetice este dată după cum urmează: „Secvența numerică, fiecare membru din care, pornind de la al doilea, egal cu elementul precedent, pliat cu același număr, numit o progresie aritmetică.“ Aici vom defini conceptul - o progresie aritmetică, un termen generic - o secvență numerică, ca diferențe dintre specii indică o metodă de obținere a tuturor progresia membrilor, începând cu a doua, care constă în faptul că, pentru orice membru necesară membrului anterior pentru a adăuga același număr. Această definiție poate fi scrisă ca următoarea formulă:
O astfel de definiție este numit inductiv (inducerea cuvântului - orientări privind deducție de la particular la general) sau recurente (de la cuvântul recursivitatea - returnarea).
Cu toate acestea, nu toate conceptele matematice pot fi determinate în mod logic, prin metodele de mai sus. Într-adevăr, fiecare definiție a conceptelor matematice reduce definit conceptul unei mai larg (mai general, de ex., E. având un volum mai mare) conceptul generic, definiția unui concept generic se reduce la un concept mai larg, și așa mai departe. D. Evident, datele de proces ale unor concepte la o sferă mai largă, mai multe concepte generale trebuie să aibă un sfârșit, nu poate fi infinit. Cu alte cuvinte, definiția finală a conceptelor am ajuns la aceste concepte nu mai reductibilă la alta, adică. E. sunt Ele nu sunt în mod logic pot fi definite. Astfel de concepte în matematică sunt numite primare sau esențiale.
De exemplu, definind paralelogram, vom aduce la conceptul de patrulater definind patrulaterului, am reduce la noțiunea de poligon, atunci conceptul de forme geometrice, care este redusă în determinarea conceptului punctului. Conceptul de punct nu mai este definit, adică. E. primar. Conceptele primare în matematică, cu excepția punctului, sunt conceptele de linie, plan, deținute, numere, seturi (un set) și altele.
Deci al doilea, ceea ce trebuie să învețe în matematică - este abilitatea de a construi definiția conceptelor matematice în orice mod. Această abilitate este destul de complex, și vom vorbi despre asta mai mult în următorul interviu. Între timp, efectuați următoarele sarcina de a securiza informațiile pe care le aveți această conversație.
3.1. Care dintre următoarele proprietăți ale trapezului sunt esențiale și care nu sunt esențiale:
a) Cele două părți ale unui trapez sunt paralele.
b) Atât unghiul la o mai mare bază acută.
c) Suma colțurile trapezoidală care aparțin de o parte, este egală cu 180 °.
g) Motive trapez pe orizontală.
d) Atât unghiul de la baza mică a trapezului obtuz.
3.2. Cum sunt obiecte matematice și concepte matematice?
3.3. Indicați care dintre următoarele sugestii de mai jos sunt judecăți, și ceea ce nu sunt:
a) Cele trei medianele unui triunghi făcut.
b) medianele unui triunghi se intersectează la un moment dat.
c) Care este produsul puterilor cu aceeași bază?
d) Registrul funcționează numere pozitive egal cu suma logaritmilor factorilor.
3.4. Următoarele definiții evidențiază numele obiectului este determinată de concepte, conceptul generic și diferențe specii:
a) Numerele care pot fi scrise sub forma unor fracțiuni obișnuite sunt numite raționale.
b) aritmetică rădăcina pătrată a numărului a este un număr non-negativ al cărui pătrat este egal cu un.
c) Două linii într-un plan paralel sunt numite în cazul în care nu se intersectează.
d) Dacă punctul O este punctul de mijloc al segmentului AB. apoi punctele A și B sunt numite puncte simetrice față de punctul O.
3.5. Formulați Circumferința definiție genetică, știind că acesta este format ca urmare a rotației segmentului pe un plan rotund unul din capetele sale, al doilea capăt al acestui segment, în acest caz, descrie un cerc.
3.6. Membrii secventa Fibonacci (. Ca. 1170-1250) sunt date de următoarea formulă: AN = AN + 2 + 1 + o. Se specifică definiția acestei secvențe. Ce este această definiție?
3.7. Dă următoarea descriere a construcției de linii perpendiculare :. „Fie a și b - două linii care se intersectează atunci când trec formează cele patru colțuri ale lunii mai. # 945; - una dintre aceste unghiuri. Apoi, fiecare din celelalte trei colțuri este fie adiacente unghiului # 945; sau vertical, la un unghi # 945;. Rezultă că, dacă unul dintre unghiurile este corect, atunci restul de colțuri prea drepte. În acest caz, se spune că liniile se intersectează în unghiuri drepte și perpendiculare le numesc ".
Pe baza acestei descrieri, specificați definirea liniilor perpendiculare.
3.8. Numărul modulului este determinat prin următoarea formulă:
Formulați definiția verbală a modulului.
3.9. Secvența se numește în creștere în cazul în care fiecare membru al membrului anterior. Înregistrează această determinare, folosind o formulă.
3.10. După cum știți, un triunghi isoscel - este un triunghi în care cele două părți sunt egale, iar triunghiul din dreapta - este de așa natură, în care toate părțile sunt egale. Este triunghiul isoscel dreapta?
3.11. Se specifică următorul termen generic pentru următoarele concepte: a) pătrat; b) gradul cu un indicator natural; c) unghiurile verticale; g) un număr prim; d) coardă.
3.12. Se specifică numărul de termeni generici pentru concepte de diamant.
3.13. Am nevoie (și, dacă este posibil) pentru a dovedi definiția?