În cazul în care trei cheviany Hvostov, în Y, CZ (unul de la fiecare nod) treugolnka ABC competitivă, atunci
Când spunem că cele trei linii (sau segment) sunt competitive, avem în vedere că toate trec prin același punct, care este notat cu R.
Pentru a demonstra teorema că CEVA amintesc zonele de triunghiuri cu înălțimi egale sunt proporționale cu baza triunghiului.
(Referitor la figură, avem
Acum, dacă le multiplica împreună, vom obține
Să punctul A1 se află pe latura BC a triunghiului ABC, punctul C1 - pe partea AB, punctul B1 - privind extinderea UA pentru punctul C. Puncte A1, B1 IS1 sunt coliniari dacă și numai dacă egalitatea
Această teoremă este inclusă în fondul de aur al matematicii antice grecești. Ea a venit la noi în traducerea arabă a cărții „sferics“ Menelaus din Alexandria. egalitate Menelaus poate fi scris începând cu orice vârf al triunghiului în oricare direcție (în sens orar, acelor de ceasornic).
Triunghiul ABC pe partea de soare punctul N este luată, astfel încât NC = 3 miliarde; privind continuarea laturii AC a punctului A punctul M este luată astfel încât AI = AC. Linia MN intersectează partea AB la F. Cauta: atitudine
Decizie. Prin starea sarcinilor MA = AC, NC = 3 miliarde. Să AI = AC = b,
BN = k, NC = 3k. Linia MN intersectează cele două laturi ale triunghiului ABC și continuarea celui de al treilea. Prin teorema lui Menelaus
Să AD - mediana triunghiului ABC. Pe partea punctului K este luat AD, astfel încât AK: KD = 3: 1. VC Direct împarte triunghiul ABC în două. Găsiți raportul dintre aria acestor triunghiuri.
Decizie. Să presupunem că BD = DC = o, KD = m; apoi AK = 3m. Fie P - punctul de intersecție al VC cu partea de curent alternativ.
Este necesar să se găsească raportul
Deoarece ABPs triunghiuri și PBC au înălțime egală, extrase din punctul B,
Prin Teorema lui Menelau pentru triunghiul ADC și PB au tăiat:
Triunghiul ABC circumscris în jurul unui cerc AB = 8, VS = 5, AC = 4.
A1, C1 V1i - punct de contact, aparținând respectiv latura BC, AC și BA. P - punctul de intersecție al segmentelor AA1 și CC1. Punctul P se află pe BB1 bisector. Găsiți AR: PA1.
Decizie. Să C1B = x, atunci, folosind proprietatea tangenta la circumferința unui singur punct, vom introduce unele notație. BA1 = BC1 = x, A1C = CB1 = 5 x AV1 = AC1 = 8 x.
În triunghiul AVA1 C1C directă traversează două dintre laturile sale, precum și continuarea unei terțe părți. Prin teorema lui Menelaus
In triunghiul ABC circumscris în jurul unui cerc AB = 8, BC = 12, AC = 9, A1 și C1 - puncte tactile situate respectiv pe laturile BC AB. Q - punctul de intersecție al segmentelor AA1 și BB1. Q se află la o altitudine de BB1. Găsiți BQ raportul: QB1.
Decizie. ABC triunghi - un punct de versatil, astfel încât B1 nu coincide cu punctul de contact.
1. Fie C1B = x, atunci, folosind proprietatea tangent, efectuate la cercul din același punct, introducem următoarea notație:
(13-x) + (12-x) = 9, x = 8.
Prin urmare, C1B = 8, AC1 = 5.
2. Formula lui Heron
3. Din AVV1 triunghi (dreptunghiular) pitagoreică AB1 =
4. În triunghiul AVV1 CC1 directă traversează două dintre laturile sale, iar continuarea a treia. Prin teorema lui Menelaus
laturi ale triunghiului și 5.6 7. Găsiți raportul dintre segmente în care triunghiul bisectoarea unui unghi mai mare este împărțit centrul unui cerc înscris în triunghi.
Decizie. Să triunghiul ABC, AB = 5, 7 = Soare, AC = 6. unghi se află vizavi cea mai mare parte a triunghiului ABC, prin urmare, unghiul BAC - cu cât unghiul triunghiului. Centrul cercului inscris de triunghi se află la intersecția Bisectoarele. Trebuie să găsești AO: DO. Deoarece AD - bisectoarea triunghiului ABC, atunci este BD = 5K, DC = 6k.
Deoarece BF - bisector al triunghiului ABC, atunci este, AF = 5m, FC = 7m.
BF Direct traversează cele două părți și continuarea celei de a treia ADC triunghi. Prin teorema lui Menelaus
Bisector BF si AD triunghi ABC se intersectează Q. Găsiți aria triunghiului ABC, în cazul în care
Decizie. Să AB = a, atunci AC =
Ad- bisectoarea triunghiului ABC, atunci este BD = 2p, DC = 3p.
BE - bisector al triunghiului ABC, atunci
În triunghiul AD directă intersectează două dintre laturile sale, precum și continuarea unei terțe părți. Prin Menelau teoreme adică EQ = 9m, QB = 14m.
Triunghiuri QbD EBC și au un unghi comun, mijloace
Triunghiurile ABC și greutatea au aceeași înălțime, realizat din partea de sus a B, apoi în cazul în care
În triunghiul ABC, care suprafață este egală cu 6, pe partea punctului K AB este luată, această parte a divizării împotriva AK: VC = 2: 3, iar pe partea AC - punctul L, AS impartind împotriva AL: LC = 5: 3. Punctul de intersecție al liniilor Q CK și BL scoase din linia de o distanță AB. Găsiți lungimea laturii AB.
Decizie. 1. Triunghiuri ABL și ABC au aceeași înălțime din partea de sus condusă de V. întrucât
2. COP Direct traversează triunghiul ABL două părți și continuarea a treia. Prin teorema lui Menelaus adică BQ = 4p, QL = p.
3. Triunghiurile KBq ABL și au un unghi comun, astfel încât atunci
În triunghiul ABC punctul K și L fac parte din laturile AB si BC. AK: VC = 1: 2, CL: BL = 2: 1. Q - intersecția segmentelor AL și CK. Găsiți zona triunghiului ABC.
Decizie. În triunghiul MBC dreaptă AL intersectează două laturi ale unui triunghi și continuarea unei terțe părți. Prin teorema lui Menelaus 1)
În triunghiul ABM COP dreaptă intersectează două laturi ale unui triunghi și continuarea unei terțe părți. Teorema 2 Menelaus.A) adică MS = 4p, AM = p.
2. rescrie Încă o dată ecuația (1):
adică, MQ = 2l, QB = 5l.
3. Triunghiurile BQC și MBC au un unghi comun, astfel încât atunci
4. Triunghiurile ABC și MBC au înălțimi egale, realizată din vârful B, atunci
În partea AC în triunghiul ABC este luat K punct, AK = 1 COP = 3.
Pe partea AB se ia punctul L. AL: LB = 2: 3. Q - punctul de intersecție al liniilor de curent alternativ și CL. Găsiți lungimea înălțimea triunghiului ABC, a redus din partea de sus a B.
Decizie. VC directă traversează cele două părți și continuarea celui de al treilea triunghi ALC. Prin teorema lui Menelau, care este LQ = 1p, QC = 5p.
1) Triunghiurile ALC și AQC au un unghi comun, mijloace
2) triunghiurile ABC și ALC au o înălțime totală, realizată de vertex C, atunci
Prin mijlocul laturii M BC a paralelogramului ABCD, care este zona 1 și se menține în partea de sus o linie diagonală BD intersectându la Q. Găsiți zona QMCD patrulater.
Decizie. deoarece CO - median al triunghiului BCD, apoi se împarte triunghiul BCD în două egale triunghi.
1) MA traversează cele două părți și continuarea celui de al treilea triunghi BOC, atunci teorema lui Menelaus din
2) BOC Triunghiuri BQM și au un unghi comun, mijloace
In ABCD trapezoid din AD și baza BC prin mijlocul A drepte care intersectează un BD diagonală la un punct E și partea laterală a CD-ului la punctul K și BE: ED = 1: 2 si CK: KD = 1: 4. Găsiți raportul dintre lungimile bazelor unui trapez.
Decizie. Să Bc = o, AD = b. Trebuie să găsești
Fie Q - punctul de trecere a liniilor BC și AC.
1) Conform Menelaus teorema la BCD triunghi și tăiere au AQ
2) (două unghiuri), atunci
Deoarece a = BC, b = AD, atunci
Pe latura unui pătrat NP MNPQ punctul A este luat, iar pe partea PQ - punctul B, astfel încât NA: AP = PB: BQ = 2: 3. Punctul L este un punct de intersecție al segmentelor AI și NB. Care este relația dintre L împarte AM segment?
Decizie. Desenați o linie AB. Să-l traversează MQ la punctul F. Să linia întâlnește linia MQ NB la punctul D.
apoi în cazul în care, atunci unde
De APB triunghi (pătrat) din teorema lui Pitagora AB =
De la QBF triunghi (dreptunghiular) BF pitagoreică =
Din teorema AFM triunghi al Menelaus
1. Pentru a rezolva problemele pe care trebuie să învețe să găsească figura triunghiul satisface teorema lui Menelaus.
2. La elaborarea capitalul propriu necesar pentru a trece de la partea de sus la partea de sus a liniei de tăiere, prin punctul de intersecție cu partea sau continuarea acesteia; aveți nevoie pentru a termina în același vertex, care a început.
Importanța acestei lucrări:
În rezolvarea problemelor (in lor 12 spectacole), am ajuns la concluzia că:
A) Teorema CEVA și Menelaos permite cu ușurință și de a rezolva elegant o clasă de probleme;
B) munca noastră pot fi folosite pentru a efectua ateliere de lucru pe cursuri de electivă cu studenții claselor absolvente, precum și pregătirea unui examen de stat unificat.