În diferite domenii ale matematicii și în aplicarea matematicii la arta, de multe ori se întâmplă atunci când operațiile algebrice nu sunt făcute pe numere, ci pe obiecte de natură diferită. De exemplu, adăugarea de matrice, matrice de multiplicare, plus vector, operații asupra polinoame, operații asupra transformărilor liniare etc.
1. Determinarea Inelului este un set de obiecte matematice, care a identificat două acțiuni - „plus“ și „multiplicare“ pe care harta perechi ordonate de elemente ale „suma“ lor și „produs“, care sunt elemente ale aceluiași set. Aceste acțiuni sunt conforme cu următoarele cerințe:
1. a + b = b + a (comutativitatea).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (plus asociativitatea).
3. Există un element de zero, 0 astfel încât a + 0 = a. pentru orice o.
4. Pentru orice element o -a substanțial opusă astfel încât a + (- a) = 0.
5. (a + b) c = ac + bc (stanga distributivitatii).
5“. c (a + b) = ca + cb (dreapta distributivitatii).
Creanțe 2, 3 și 4 indică faptul că o multitudine de obiecte matematice formează un grup. și cu paragraful 1, avem de a face cu un grup comutativ (abelian) în ceea ce privește adăugarea.
După cum se poate observa din definiție, în definiția generală a inelului asupra multiplicării nu există limitări decît cu adaos distributivitatii. Cu toate acestea, în diferite situații, este necesar să se ia în considerare inele cu cerințe suplimentare.
6. (ab) c = a (bc) (multiplicare asociativitatea).
7. ab = ba (multiplicare comutativ).
8. Existența celulei unitate 1, adică o astfel de · 1 = 1 · a = a. pentru orice element a.
9. Pentru orice element membru există un element inversă -1 astfel încât aa -1 = a -1 a = 1.
In diferitele inele 6, 7, 8, 9 pot fi efectuate fie separat, fie în diverse combinații.
Ring numit asociativă dacă este îndeplinită condiția 6, comutativ dacă condiția 7, comutativă și asociativă dacă condițiile 6 și 7. Inelul este numit un inel cu unitatea, în cazul în care condiția 8.
1. Un set de matrici pătrate.
Într-adevăr. , Itemii 1-5, 5 „este evident. Elementul de zero este matricea zero. element efectuat în plus 6 (multiplicare asociativitatea), punctul 8 (un singur element este matricea identitate). 7 și 9 nu sunt îndeplinite, deoarece în general pătrat matrice de multiplicare nu este comutativ, și nu există întotdeauna matrice pătratică inversă.
2. Ansamblul tuturor numerelor complexe.
3. Mulțimea tuturor numerelor reale.
4. Setul de numere raționale.
5. Setul tuturor numerelor întregi.
Exemplele 2-5 sunt numărul inele. Numărul inele sunt, de asemenea, toate numerele chiar, și toate numere întregi divizibile cu un număr întreg pozitiv n. Rețineți că setul de numere impare, nu un inel ca suma a două numere impare este un număr par.