„Ascultați ce muritorii fac eu ... Numărul au dat
Și scrisorile sunt învățați să se conecteze ... Eschil Prometeu Zakovanny "
Eschil Prometeu Zakovanny «» Dacă nici numărul și natura nimic nu există, ar fi imposibil să le înțeleagă în sine, nici în relațiile sale cu alte lucruri. Puterea numerelor se manifestă în toate faptele și gândurile oamenilor în toate cristalele remes- în muzică „pitagoreic Philolaus, 5. BC. e.
Numărul este unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Conceptul de dezvoltare, în strânsă legătură cu variabilele de studiu; Această relație persistă astăzi. În toate domeniile matematicii moderne trebuie să ia în considerare valori diferite și numere de utilizare
Există mai multe definiții ale conceptului de „număr“.
Primul număr de identificare științifică dat de Euclid în „elemente“ lui, pe care se pare că a moștenit de la compatriotul său Evdoksa Knidos (aproximativ 408 - 355 ien ...): „Unitatea este faptul că, în conformitate cu ceea ce fiecare dintre existente lucrurile numit unul. Numărul este un set de unități pliate. " El a definit conceptul de număr și matematician român Magnițki în „aritmetică“ lui (1703).
Chiar înainte de Euclid, Aristotel a dat această definiție: „Numărul este un set, care este măsurată printr-o unitate.“
Din cuvintele filozofului grec Iamblichus, Thales are - stramosul filozofiei materialiste spontan greacă - a învățat că „numărul este sistemul de unități.“ Această definiție a fost cunoscută de Pitagora.
În „aritmetică generală“ (1707), marele engleză fizician, inginer, astronom și matematician Isaak Nyuton a scris: „Sub numărul de noi zumevaem podra- nu atât de multe unități ca o relație abstractă a unor cantități la o altă cantitate de același tip, luate pe unitate. Numărul este de trei feluri: întregi, fracționare și iraționale. Integer este ceea ce este măsurat de către unitatea; - o parte fracționată a unei unități multiple, irațional - numerele nu sunt proporționale cu unitatea ".
Mariupol nostru matematician S.F.Klyuykov, de asemenea, a contribuit la definirea numerelor „- sunt modele matematice ale lumii reale, inventate de om pentru cunoștințele sale.“ De asemenea, el a contribuit la numerele de clasificare tradiționale din așa-numitul „număr funcțional“, referindu-se la faptul că lumea este, de obicei, un nume de funcție. Mai multe detalii despre acest lucru este stabilit în capitolul 9.
1. Numerele naturale
Conceptul de „număr natural“, în sensul modern sa bucurat în mod constant un matematician francez remarcabil, filozof, pedagog D'Alembert (1717-1783 gg.).
Ideea inițială a numărului apărut în epoca de piatră, trecerea de la o simpla adunare de alimente pentru producția sa activă de circa 100 a.Chr. e. numeric copilarie dificil și încet vine în folosință. Omul timpuriu a fost departe de gândire abstractă, suficient ca el a inventat numărul :. „One“ și „doi“ Suma rămasă pentru a rămas incertă și uniți în conceptul de „mult“.
Creșterea producției de alimente, se adaugă obiecte care necesare pentru a fi luate în considerare în viața de zi cu zi, și, prin urmare, să vină cu numere noi, „trei“, „patru“ ... Pentru o lungă perioadă de timp limita de cunoștințe a fost numărul „șapte“.
Despre neînțeles a spus că această carte este „o enigmă“ femeie înțeleaptă în basme a dat pacientului „șapte noduri cu plante aromatice, care a trebuit să insiste pe șapte ape în termen de șapte zile și să ia în fiecare zi, timp de șapte linguri.“
Exploreaza lumea devine mai complexă nevoie de număr nou. Așa că am ajuns până la noua limită. Ei au devenit numărul 40. sume exorbitante de simulate enorme în acele zile numărul „patruzeci de patruzeci de ori“, egal cu 1600.
Mai târziu, când numărul „patruzeci“ nu mai este o limită, ea a jucat un rol important în metrologie rus ca baza unui sistem de măsuri: PUD a fost de 40 de lire sterline, baril-sorokovke - patruzeci și găleți, etc.
De mare interes este istoria numărului „șaizeci“, care apare de multe ori în babiloniene, legendele persane și grecești ca sinonim pentru un număr mare. Babilonienii l-au considerat numărul lui Dumnezeu, trei sute de coți în înălțime a avut un idol de aur din templul babilonian regelui Nabucodonosor. Mai târziu, cu aceeași valoare (fără număr) având multipli de 60: 300, 360. De-a lungul timpului, numărul 60 în Babilon a stat la baza sistemului șaizecelea de calcul, ale căror urme au supraviețuit în măsurarea timpului și a unghiurilor.
Limita următoare în oamenii slave au fost printre „întuneric“ (grecii antici - multitudinea) de 10 000, și Outland - „Întunericul, mai multe mii“ de 100 de milioane. Slavii, de asemenea, utilizat și alt sistem numărul (așa-numitul „număr mare“ sau „mare scor“). In acest sistem, "întuneric" 106 egal cu "legiune" - 1012 "leodr" - 1024, "Raven" - 1048, "punte" - a adăugat 1096 și apoi că un număr mai mare nu există.
În lumea antică avansat cel mai Arhimede (III ien.) În „calculul boabe de nisip“ - până la numărul 10 ridicat la o putere 8h1016. și Zenon Eleysky (secolul IV î.Hr. ...) în paradoxurile - ∞ la infinit.
1.1. Funcțiile de numere naturale
Numerele naturale au două funcții principale:
caracteristică a numărului de subiecți;
Caracteristicile despre obiectele plasate într-un rând.
În conformitate cu aceste caracteristici a apărut conceptul de numere ordinale (primul, al doilea, etc.) și cuantificarea numărului (unu, doi, etc.).
Lung și greu pentru a ajunge la umanitatea primul nivel al numerelor de generalizare. O sută de secole a fost nevoie pentru a construi cel mai mare număr de numere întregi scurte de la unu la infinit: 1, 2, ... ∞. Naturale, deoarece acestea au fost desemnate (simulate) reale indivizibile obiecte, oameni, animale, lucruri ...
2. Numerele raționale
2.1. numere fractionare
2.1.1. La originea fracțiilor
Odată cu apariția unor reprezentări de întregi și au existat reprezentări ale părți ale unității, mai exact, despre părțile unui anumit subiect. Odată cu apariția unui număr natural n a apărut a fracțiunilor de forma 1 / n. care este acum numit alicotul, generic sau de bază.
Pentru a clarifica problema originii împușcat, nu trebuie să se oprească pe cont, iar pe celelalte procese care au apărut din cele mai vechi timpuri - pe măsurarea. Punct de vedere istoric, orice fracțiune din procesul de măsurare.
În centrul oricărei măsurători este întotdeauna o anumită cantitate (lungime, volum, greutate, etc). Nevoia de măsurători mai precise a condus la faptul că unitățile inițiale de măsură a început să se împartă în 2, 3 sau mai multe părți. unitate de măsură Finer, care a fost obținută ca rezultat al fragmentării, având în vedere un nume unic, iar valorile măsurate au această unitate mai mici.
Astfel, a luat naștere prima fracție specifică a anumitor părți ale unor măsuri specifice. Doar mult mai târziu numele de fracțiuni specifice au început să denote aceeași cele mai multe dintre celelalte variabile, și apoi abstract împușcat.
2.1.2. Fracții în Roma antică
Romani utilizate în principal numai pentru fracțiuni specifice, care înlocuiesc subsecțiuni abstracte ale măsurilor utilizate. S-au oprit atenția asupra ca „fund“, pe care romanii a servit ca unitate de bază de măsurare a greutății, precum și unitatea monetară. Ass a fost împărțit în douăsprezece părți - uncii. Dintre acestea, îngrămădite toate fracțiunile cu un numitor de 12, adică, 1/12, 2/12, 3/12 ...
Astfel a apărut fracțiunile duodecimal romane, adică o fracțiune a cărei numitor a fost întotdeauna numărul 12. În schimb 1/12 Romani a spus „o uncie“ 5/12 - „Cinci uncii,“ etc. Trei uncii numit al patrulea, patru uncii - al treilea, șase uncii - jumătate.
Acum, „fund“ - lira spițer.
2.1.3. Fracțiunile în Egiptul antic
Prima fracție, care sa întâlnit poporul a fost, probabil, jumătate. Acesta a fost urmat de 1/4, 1/8 ..., apoi 1/3. 1/6, etc. care este cea mai simplă fracțiune, proporția întregului, numite fracții simple sau majore. Ei numărătorul este întotdeauna unitatea. Unele popoare antice și, în primul rând, egiptenii au exprimat orice fracție ca suma doar principalele fracțiuni. Doar mult mai târziu grecii, apoi indienii și alte popoare care vin în folosință, iar forma generală a unei fracții, numită obișnuită, în care numărătorul și numitorul poate fi orice numere naturale.
În Egiptul antic arhitectura a ajuns la o mare dezvoltare. În scopul de a construi temple grandioase și piramide pentru a calcula lungimi, suprafețe și volume de cifre necesare pentru a ști aritmetică.
Din informațiile decriptate pe papirusuri, oamenii de știință au aflat că egiptenii de acum 4000 de ani, a avut o zecimală (dar nu pozițional) sistem de numerație ar putea rezolva multe probleme asociate cu cerințele de construcție, probleme comerciale și militare.
Iată cum egiptenii înregistrate fracțiunile lor. În cazul în care, de exemplu, ca rezultat al măsurării, un număr fracționar 3/4. Egiptenii este o sumă de fracții unitare ½ + ¼.
2.1.4. fracțiunile sexagesimale babiloniene
Babilonienii numerotare sexagesimale scrise combina aceste două pictograme: o pană verticală ▼, unitate de desemnare și simbolul ◄, semnificând zece. În textele cuneiforme babiloniene a fost menționat primul sistem numeric pozițională. pană verticală înseamnă nu numai 1, dar 60, 602, 603, etc. Mark pentru zero în sistemul sexagesimal pozițional, babilonienii nu au avut la început. Ulterior, acesta a fost precedat de èè. curent de zero biți inlocuind separare între ele.
șaizecelea Origine babilonieni conectat, ca oamenii de stiinta cred, faptul că unitățile de babilonieni bani și măsurare greutatea împărțită din cauza condițiilor istorice de 60 părți egale:
1 talent = 60 min;
parts Sixties au fost obișnuiți cu viața babilonienilor. De aceea au folosit fracții sexagesimale având un numitor este întotdeauna numărul 60 sau gradul: 602 = 3600 603 = 216000, etc. În acest sens, fracțiunile sexagesimale pot fi comparate cu fracții zecimale noastre.
matematică babiloniene a avut o influență asupra matematică grecești. Urme de șaizecelea babilonian rezista în știința modernă în măsurarea timpului și a unghiurilor. Ea a supraviețuit divizarea ore de 60 de minute. minute la 60, circumferința de 360 de grade la 60 de grade min. minut până la 60C.
Babilonienii au avut o contribuție valoroasă la dezvoltarea astronomiei. fracții sexagesimale folosite în astronomie savanți tuturor națiunilor din secolul al XVII-lea, numindu-le fracții astronomice. Dimpotrivă, forma generală a fracțiunii pe care le folosim, am fost chemați obișnuit.
2.1.5. Numerotarea și fracțiunile din Grecia antică
În Grecia antică, aritmetică - doctrina proprietăților generale ale numerelor - separate de logistica - arta de calcul. Grecii credeau că doar o parte poate fi utilizată în logistică. Aici ne întâlnim mai întâi cu conceptul general de fracțiuni de forma m / n. Astfel, se poate presupune că primul domeniu de numere naturale extins la câmp suplimentar de numere raționale în Grecia antică nu mai târziu secolul V î.Hr.. e. Grecii operate în mod liber de către toate operațiile aritmetice cu fracții, dar numărul lor nu sunt recunoscute.
două sistem de numerotare în scris a existat în Grecia antică: Mansarda și ionici sau alfabetic. Ei au fost numite astfel pentru regiunile antice grecești - Attica și Ionia. Sistemul de pod, de asemenea, numit gerodianovoy, cele mai multe caractere numerice sunt primele litere ale numeralele grecești corespunzătoare, de exemplu, GENTE (Gent sau procente) - cinci, # 916; ESA (soundboard) - zece, etc. Acest sistem este utilizat în Attica pentru secolul I d.Hr. dar și în alte zone ale Greciei antice a fost anterior înlocuit cu un numerație alfabetice mai convenabil, sa răspândit rapid în întreaga Grecia.
Grecii folosit împreună cu fracții comune „egiptene“ unice și fracțiuni comune. Printre diferitele înregistrări și acest lucru a fost utilizat: numitorul superior, sub ea - numărătorul fracției. De exemplu, 5/3 înseamnă trei cincimi, etc.
2.1.6. Numerotarea și împușcat în Rusia
Deoarece monumentele antice din istoria Rusiei, strămoșii-slavii noștri, care au fost într-un dialog cultural cu Imperiul Bizantin, alfabetul slav folosit zecimal numerotare similar ionic. Peste litere, numere pune un semn special, numit Titley. Folosit pentru a se referi la mii de alt semn care pune în partea stângă a literelor.
Română de fracțiunea olografe aritmetica a secolului al XVII-numite lobi, mai târziu „numere sparte.“ În ghidul de vechi este următoarele denumiri comerciale fracțiuni din Rusia:
1/2 - jumătate poltina
numerotare slavă a fost folosită în România în secolul al XVI-lea, apoi treptat a început să penetreze sistemul zecimal numărul pozitional. Ea în cele din urmă înlocuit de numerotare slavă sub Petru I.
2.1.7. Fracțiunile din celelalte state din antichitate
În chineză, „Matematica în nouă secțiuni“ au avut deja loc reducerea fracțiilor și toată acțiunea cu fracții.
Indian matematician Brahmagupta, vom găsi un sistem bine dezvoltat de fracții. El a găsit diferite fracții: de bază, și derivați ai oricărui numărător. Numărătorul și numitorul sunt scrise în același mod ca și noi acum, dar fără linia orizontală, și pur și simplu plasate unul deasupra celuilalt.
Arabii au fost primii care separa caracteristica numărătorul de numitor.
Leonardo Pizansky a înregistrat deja împușcat, punând în cazul unui număr mixt, un număr întreg de pe dreapta, dar citește ca luat de la noi. Jordanus de Nemore (XIII cent.) Efectuează diviziunea fracțiunilor prin împărțirea numărătorul numitorul și numărătorul de numitor, asemănându multiplicare divizare. Pentru aceasta avem membri ai primilor factori fracțiune de complement:
În secolele XV - XVI doctrina fracțiilor dobândește deja familiare ne uităm acum și se face chiar despre subiectele care se găsesc în manualele noastre.
Trebuie remarcat faptul că secțiunea aritmetică pe fracții a fost mult timp una dintre cele mai dificile. Nu e de mirare germanii continuau să spună: „Pentru a ajunge la împușcat“ care a însemnat - du-te
Termenul „sarcină“ și procesul de rezolvare. tehnici de formare tehnologie de percepție și înțelegere, căutarea și pregătirea planului. Metode de predare diferite metode de rezolvare a problemelor. Esența sensului și identificarea fracțiunilor, modalități practice de a le compara.
Problema disparat, prima criza din bazele matematicii, investigația și încercările de a le depăși. Originea și dezvoltarea conceptului de număr. Devenind teoria limită, teoria creării unui număr real. Great metematiki: Weierstrass, Cantor, Dedekind.
Istoria apariției și dezvoltării cifre arabe, caracteristicile scrierii lor, comoditate în comparație cu alte sisteme. Familiarizarea cu numere de diferite persoane: sistem de numărul de Roma antică, chineză, Devanagari și dezvoltarea lor din antichitate și până în prezent.
Conceptul de numere complexe. Acțiuni cu numere complexe. Soluția de ecuații cu variabile complexe.
Ministerul Educației al Republicii Belarus Mogilev Universitatea de Stat. AA Departamentul Kuleshov metodologiei de predare matematică
Istoria dezvoltării sistemelor numerice. Nepozitsionnyh și sistemul decimal pozițională. Utilizarea sistemului de număr în tehnologia informatică și tehnologia informației. Codificarea binară a informațiilor în computer. Construcție de coduri binare.
Antiderivative și nedefinită integrală. Integrale de masă. Unele proprietăți ale nedefinită integral. Integrarea prin înlocuirea sau schimbarea metodei de substituție. Integrarea de piese.
Realizarea matematician grec antic care a trăit între secolul al VI-lea î.Hr. AD-lea și V Caracteristici ale perioadei inițiale de dezvoltare a matematicii. Rolul școlii pitagoreice în dezvoltarea matematicii: Platon, Eudoxus, Zeno, Democrit, Euclid, Arhimede, Apollonios.
Definiția ecuații iraționale. Oprednlenie numere iraționale. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.
O expresie algebrică este o expresie compusă dintr-un număr finit de litere și cifre, conectat la caractere acțiune adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicarea la o putere întreagă și extracție rădăcină.
Etapele de dezvoltare a numerelor naturale. Esența metodei de „Ciurul lui Eratostene“ și problema Goldbach. Legile de proprietate și modele în formă, cifre poligonale, sofisticate, prietenos, conviviale. idei mistice cu privire la valorile 666 și 1001.
grad aritmetică identitate, fracții, logaritmi.
Dezvoltarea matematicii în China antică de la al II-lea. BC al VII-lea d.Hr. Ancient matematic "Desyatiknizhe". Limbo de numărare grup zecimală și numerele multiplicative perioada de fixare principiu în Yin. Clasice „Matematica în nouă cărți“.
Realizarea matematicii egiptene antice. Sursele pe care le poate judeca nivelul de cunoaștere a vechilor egipteni. Provocări pentru aritmetică și progresii geometrice, găsirea numărului Pi, sublinia natura teoretică și practică a matematicii antice.
Utilizarea desene geometrice ilustrează modul în care relațiile algebrice întâlnite în Egiptul antic și Babilon.
matematica greaca a fost considerat „reale“ doar numere naturale. evoluat treptat ideea de infinit set de numere naturale.
Cea mai veche lucrare matematică a fost prin. Proiectul de lege a fost necesară pentru a ține evidența animalelor și a comerțului.
Drіb, chislіvnik i znamennik yakogo Je polinoame nazivaєtsya ratsіonalnim (algebraїchnim). Aducerea ratsіonalnih drobіv la spіlnogo znamennika. Skorotiti drіb - TSE oznachaє rozdіliti chislіvnik i znamennik zdrobit în mnozhnik spіlny.
Unități de diferite națiuni. Metode de măsurători ale antice.