Luați în considerare primul corp solid se rotește în jurul unei axe fixe OZ o viteză unghiulară # 969; (Figura 5.6). Să ne împărțim corpul în mase elementare. Viteza liniară este masa elementară. în care: - distanța de la axa de rotație. Energia cinetică a masei i elementar va tec fi egală cu
Energia cinetică a întregului corp este compus din energiile cinetice ale părților sale, așa
Având în vedere că suma pe dreapta acestei ecuații reprezintă momentul de inerție față de axa de rotație, vom obține în cele din urmă
Formula energia cinetică a unui corp rotativ (5.30) sunt similare cu formulele corespunzătoare pentru energia cinetică a mișcării de translație a corpului. Acestea sunt obținute de la ultima înlocuire formală.
În general, mișcarea unui corp rigid poate fi reprezentat ca o sumă de mișcare - traducere la o viteză egală cu centrul de masă al vitezei corpului si viteza unghiulară de rotație în jurul axei instantanee care trece prin centrul de masă. În acest caz, expresia pentru energia cinetică a corpului ia forma
Acum vom găsi lucrarea făcută de momentul forțelor exterioare, la rotația corpului rigid. de lucru elementară a forțelor externe, în timp dt este egală cu variația energiei cinetice a corpului
Luând diferențialul energia cinetică a mișcării de rotație, vom găsi creștere de
În conformitate cu ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație
Având în vedere aceste relații, exprimăm forma unității de lucru
în care - proiecția momentului rezultant forțelor externe în direcția de rotație axa OZ, - unghiul de rotație a corpului în intervalul de timp de raportare.
Integrarea (5.31), obținem o formulă pentru forțele exterioare care acționează asupra corpului rotativ
În cazul în care. formula este simplificată
Astfel, funcționarea forțelor externe, la rotirea corp solid în raport cu o axă fixă prin acțiunea punctelor de proiecție ale acestor forțe pe axa dată.
Giroscop numit un corp simetric în rotație rapidă a cărei axă de rotație se poate schimba direcția în spațiu. Pentru axa giroscoapelor poate roti liber în spațiu, giroscopul este plasat într-o așa-numită cardane (Figura 5.13). giroscop Volanta este rotit în jurul axei interioare colivie inelară C1 C2. care trece prin centrul de greutate. inelul interior, la rândul său se poate roti în cușcă exterioară în jurul axei B1, B2. C1 este perpendicular C2. În cele din urmă, inelul exterior se poate roti liber în cadrul lagărului în jurul axei A1 A2. perpendicular pe axele C1 și C2 B1 B2. Toate cele trei axe se intersectează într-un punct O fixă, suspendare sau de sprijin punctul giroscopului centru numit. Giroscopului în cardanice are trei grade de libertate și, prin urmare, se poate realiza orice rotații în jurul centrului de suspendare. Dacă centrul de suspensie giroscop coincide cu centrul de greutate, momentul rezultant de greutate al tuturor părților giroscop în raport cu centrul suspensiei este zero. Un astfel de giroscop este numit echilibrat.
Să luăm acum în considerare cele mai importante proprietăți ale giroscopului, pe care a gasit o larga in diverse domenii.
Sub orice giroscoapelor colțuri echilibrate bare de rotație direcția axei rămâne neschimbată în raport cu cadrul laboratorului de referință. Acest lucru se datorează faptului că momentul forțelor externe, egală cu cuplul de frecare este foarte mică și, practic, nu produce schimbarea momentului impulsului giroscopului, adică
Deoarece momentul cinetic este direcționat de-a lungul axei de rotație a unui giroscop, orientarea acestuia trebuie menținută neschimbată.
În cazul în care o forță exterioară acționează pentru o perioadă scurtă de timp, integrala definind incrementul momentului unghiular este mic
Deci, pentru perioade scurte de și mai mare rezistență a mișcării echilibrate a giroscopului schimbă puțin. Giroscopului cum rezistă orice încercare de a schimba magnitudinea și direcția momentului unghiular. Cu aceasta și legate de stabilitate remarcabilă, care dobândește mișcarea giroscopic după aducerea în rotație rapidă. Această proprietate giroscop este utilizat pe scară largă pentru a controla în mod automat deplasarea aeronavelor, nave, rachete și alte dispozitive.
Dacă fapta pentru o lungă perioadă de timp constantă în direcția momentului giroscoapelor forțelor externe, axa giroscop este stabilit în cele din urmă, în direcția momentului forțelor externe. Acest fenomen este utilizat în girocompas. Acest aparat este un giroscop care poate fi rotit liber într-o axă plan orizontal. Datorită rotației diurn a Pământului și timpul de acțiune a forțelor centrifuge ale axei giroscop este rotit, astfel încât unghiul dintre și a devenit minim (figura 5.14). Aceasta corespunde poziției axei giroscopului în planul meridian.
2). efect giroscopic.
Dacă pui un cuplu de forțe la un giroscop rotativ. care tinde să se rotească în jurul unei axe perpendiculare pe axa de rotație, atunci se va roti în jurul unei a treia axe perpendiculară pe primele două (figura 5.15). Acest comportament neobișnuit al unui giroscop a fost numit efect giroscopic. Aceasta se explică prin faptul că, în momentul în care cuplul de forțe este direcționată de-a lungul axei O1 O1 și se modifică în timp în valoarea vectorului va avea aceeași direcție. Ca rezultat, un nou vector se rotește în raport cu axa O2 O2. Astfel, nefiresc la comportamentul prima vedere al giroscopului este în deplină concordanță cu legile dinamicii mișcării de rotație
3). Precesie unui giroscop.
precesie giroscop se numește mișcare conică a axei sale. Aceasta se produce atunci când momentul forțelor exterioare, în timp ce rămânând constantă în mărime, este rotit simultan cu axa giroscoapelor, formând cu totul unghiul corect de timp. Pentru a demonstra precesia poate servi ca axa roții bicicletei cu date în rotație atrasă rapidă (ris.5.16).
În cazul în care roata atârnă de capătul arborelui acumulate, axa acestuia va începe să preceseze în jurul unei axe verticale sub acțiunea propriei greutăți. Demonstrarea precesie poate fi rapid titirez.
Aflați cauza precesie a giroscopului. Să considerăm giroscop dezechilibrat, axa care poate fi rotit liber în jurul unui punct O (ris.5.16). Momentul de greutate aplicat giroscopul, este egală în mărime
în care - masa giroscop, - distanța de la punctul O la centul giroscoapelor în greutate, - unghiul format cu axa verticală a giroscopic. Vector este direcționat perpendicular pe un plan vertical care trece prin axa giroscopului.
Sub acest puls giroscopic momentul de cuplu (punctul de pornire plasat în D) primește într-o creștere de timp. și planul vertical care trece prin axa giroscopului, este rotit cu un unghi. Vector întotdeauna perpendicular. Prin urmare, nu se schimbă în magnitudine, vectorul este schimbat doar într-o direcție. În același timp, după timp și poziția relativă a vectorilor vor fi aceleași ca și în momentul inițial. Ca rezultat al axului giroscopului este rotit în mod continuu despre conul care descrie vertical. Această mișcare se numește precesie.
Se determină viteza unghiulară a precesie. Conform unghiul de rotație ris.5.16 a unui plan care trece prin axa conului și axa giroscopului, este
în cazul în care - pulsul momentul giroscop, și - incrementul său de timp.
Împărțind de. cu proporțiile selectate și transformare, obținem viteza unghiulară a precesiei
Pentru giroscoape utilizate în inginerie, viteza unghiulară de precesie este de milioane de ori mai mică decât viteza de rotație a giroscoapelor.
În concluzie, observăm că fenomenul de precesie se observă în atomi datorită mișcării orbitale a electronilor.
Aplicație Exemple Dinamica legilor
mișcare de rotație
1. Să luăm în considerare câteva exemple cu privire la legea de conservare a momentului cinetic, care poate fi pus în aplicare cu ajutorul banc Zhukovskogo. In cel mai simplu caz Zhukovskogo banc este o platformă în formă de disc (scaun), care se poate roti liber în jurul unei axe verticale pe rulmenți cu bile (Figurile 5,17). Demonstrator stă sau stă pe banca, după care a fost condus într-o mișcare de rotație. Din cauza forței de frecare prin utilizarea de rulmenți sunt foarte mici, în momentul de impuls al sistemului format din bancă și Demonstrator, axa de rotație nu poate varia în timp, în cazul în care sistemul este lăsat să se. Dacă demonstrator care deține o halteră greu și se răspândește brațele în mână, va crește momentul de inerție a sistemului, și, prin urmare, trebuie să reducă viteza unghiulară a acestui impuls a rămas neschimbat.
Conform legii conservării momentului cinetic formează ecuația pentru acest caz
în care - momentul de inerție al omului si banci, si - momentul de inerție al unui dumbbell în prima și a doua poziție, și - viteza unghiulară a sistemului.
sistem de rotație unghiulară la o rată de diluție în direcția ganterele va fi egal
Lucrarea făcută de către o persoană atunci când se deplasează ganterele poate fi determinată de variația energiei cinetice a sistemului
2. Aici este o altă experiență cu o bancă Zhukovsky. Un manifestant stă sau stă pe bancă și a trecut rapid roata de rotație cu axă verticală (5.18). Apoi demonstrator întoarce roata 180 la 0. Schimbarea în momentul roților de impuls sunt transmise în întregime de către bancă și demonstrator. Ca urmare a bancului cu Demonstrator vine să se rotească la o viteză unghiulară determinată pe baza legii conservării momentului cinetic.
Momentul de impuls a sistemului în starea inițială este determinată numai de momentul cinetic roții și este
în care - momentul de inerție al roții, - viteza unghiulară a rotației sale.
După rotirea roții cu un unghi de 180 de punct 0 pulsul sistemului este deja determinată de suma momentului cinetic cu o banchetă persoană și pulsul cuplului roții. Având în vedere faptul că în momentul în vectorul de impuls roata a schimbat direcția, și proiecția acesteia pe axa verticală a fost negativă, obținem
în cazul în care - momentul de inerție al sistemului de „om-platformă“ - viteza unghiulară a bancului cu omul.
Conform legii conservării momentului cinetic
Ca rezultat, vom constata că viteza de rotație a bancului
3. O tijă subțire cu o masă m și lungime l este rotit cu o viteză unghiulară # 969 = 10 s -1 într-un plan orizontal în jurul unei axe verticale care trece prin centrul tijei. Continuând să se rotească în același plan ca și tija este deplasată astfel încât axa de rotație este acum trece prin capătul tijei. Găsiți viteza unghiulară, în al doilea caz.
În această problemă, datorită faptului că distribuția în masă a tijei în raport cu axa de rotație variază în momentul de inerție al tijei se schimbă, de asemenea. În conformitate cu legea conservării momentului cinetic al unui sistem izolat, avem
Aici, - momentul de inerție al tijei în raport cu o axă care trece prin centrul tijei; - momentul de inerție al tijei în raport cu o axă care trece prin capătul său și a găsit de teorema lui Steiner.
Substituind aceste expresii în legea conservării momentului cinetic, obținem
4. lungimea tijei L = 1,5 m și m1 = greutatea de 10 kg este suspendat pivotabil de la capătul superior. La mijlocul tijei lovește masa glonț m2 = 10 g, zbor orizontal, la o viteză = 500 m / s, și este blocat în puț. La ce unghi deviat tija după impact?
Noi reprezentăm în Fig. 5.19. Sistemul „Rod-glonț“ organismelor care interacționează. Momente de forțe externe (gravitate, axa de reacție) la momentul impactului este zero, deci putem folosi legea conservării momentului cinetic
Sistem de impuls a cuplului la pinul bullet point este puls punct suspensie relativă
Momentul de impuls al sistemului după ciocnire neelastică se determină prin formula
în care - momentul de inerție al tijei în raport cu punctul de suspendare, - momentul de inerție al glonțului, - viteza unghiulară a tijei cu un glonț direct după impact.
Rezolvarea ecuației obținute după substituția, vom găsi
Acum Noi folosim legea de conservare a energiei mecanice. Asimilarea tija de energie cinetică după ce a fost lovit de un glonț energia sa potențială la cel mai înalt punct al cursei sale:
în cazul în care - înălțimea de ridicare a centrului de masă al sistemului.
După transformările necesare, obținem
Unghiul de deviere al tijei este asociată cu valoarea raportului
Efectuarea calculelor, obținem = 0,1p = 18 0.
5. Se determină accelerarea organelor și antrenare tensiune fire Atwood, presupunând că (5.20). Momentul de inerție blocului în raport cu axa de rotație a razei r egală I. bloc. greutate fire neglijate.
Se pune toate forțele care acționează asupra unității de încărcare și, precum și ecuațiile de dinamică elaborate
Dacă nu există nici o alunecare pe blocul firului, accelerația unghiulară lineară și sunt legate de
Rezolvarea acestor ecuații, obținem
Apoi, vom găsi T1 și T2.
6. fulie Cross Oberbeck (figura 5.21) firele atașate la o masă de încărcare suspendată M = 0,5 kg. Pentru a determina cât de mult de încărcare coboară de la o înălțime h = 1 metru în poziția inferioară. r = raza rolei de 3 cm. Cele patru masa de încărcare m = 250 g fiecare la o distanță R = 30 cm față de axa sunt montate pe o cruce. Momentul de inerție al crucii și scripetele neglijată în comparație cu momentul sarcini de inerție.
Formăm ecuații dinamice pentru acest sistem:
Accelerația unghiulară a fuliei asociată cu accelerarea raportului de sarcină. și momentul de inerție al încărcăturii transversale Oberbeck egale.
Substituind aceste expresii și rezolvarea sistemului de ecuații pentru accelerare, obținem
Coborârea sarcinii timpului se determină din ecuația de mișcare uniform accelerată calea
Calculele da t = 4,47s.
7. Pentru a demonstra legile de conservare aplicate Maxwell pendular, care este un masiv raza discului R și o masă m. bine fixat pe axul raza r. care este suspendat pe două înfășurat în prealabil pe ea filamente (5.22). Atunci când pendulul este eliberat, se efectuează o mișcare alternativă într-un plan vertical în timp ce se rotește discul în jurul axei. Neluând în considerare forțele de rezistență și momentul de inerție axei, pentru a determina accelerarea mișcării de translație a pendulului și forța de întindere a firului.
Dinamica Ecuațiile de translație și mișcarea de rotație a pendulului Maxwell au forma
In acest sistem de ecuații T - o singură forță de tracțiune fir, - momentul de inerție al discului, și - accelerația unghiulară.
Rezolvarea ecuației, vom găsi :.
tensiune Fire determinată din prima ecuație
8. disc omogen solid de rază R. rotativ cu viteza unghiulară. plasat pe o suprafață de bază orizontală. Câte ture va conduce până la o oprire, în cazul în care coeficientul de frecare dintre baza de disc și suprafața orizontală este egală cu # 956;.
Forța de frecare aplicată fiecărei porțiuni a discului, și deoarece aceste zone sunt la distanțe diferite față de axa, forțele de frecare și cuplurile aplicate acestor zone sunt diferite. Pentru a găsi momentul rezultant metoda de diferențiere aplicată. Se împarte unitatea în inele înguste. O astfel de rază r și inelul dr lățime umbrită în ris.5.23. Suprafața inelului
și forța de frecare care acționează asupra inelului selectat,
unde h - grosimea discului, # 961; - densitatea materialului discului.
În prezent, această forță de frecare este egală cu
Integrarea cu privire la r de la zero la R. obține cuplul total de frecare
Lucrarea făcută de către forțele de frecare, determinat prin formula
unde - unghiul de rotație a discului, și N - numărul de rotații ale discului la oprire.
Pe de altă parte, activitatea de frecare forțe egale cu diminuarea energiei cinetice a discului, adică,
în cazul în care - momentul de inerție al unității.
Asimilarea expresiile obținute pentru, după convertirea găsi
1. Momentul unei forțe în raport cu un punct fix - vector egal cu produsul vectorial al vectorului razei din punctul O la punctul de aplicare a forței forței
Moment de forță în raport cu axa fixă - o valoare scalară egală cu proiecția vectorului pe timp axa forței:
Valoarea este independentă de punctul de alegere O pe axa Z.
2. Momentul impulsului unui punct în raport material O punct fix - valoarea vectorului determinat de produsul vectorial al vectorului raza punctului material prelevată de la punctul O la punct impulsul acestui material
Momentul cinetic al unui punct material se deplasează de-a lungul unui cerc
3. Momentul de inerție în raport cu o axă fixă - suma produselor din mase elementare în pătrate de distanțele lor față de axa: