funcție monotonă
Creșterea funcției pe intervalul [a. b] [a, b] [a. b] (sau gama sau set) - este f funcția f (x) f (x) (x). că pentru orice x 1
Scăderea funcției pe intervalul [a. b] [a, b] [a. b] (sau gama sau set) - este f funcția f (x) f (x) (x). că pentru orice x 1
În cazul în care funcția este în creștere sau în scădere, aceasta se numește o funcție monotonă.
Exemplu: functia y = ln x y = \ ln x y = ln x este ascendentă.
Exemplu: functia y = - 3 x + 2 y = -3x + 2 y = - 3 x + 2 este în scădere.
punctul extremum
x_0 x x 0 0 - punctul maxim al funcției f (x) f (x) f (x). dacă este suficient de aproape de toate punctele x x x inegalitatea f (x) ≤ f (x 0) f (x) \ le f (x_0) f (x) ≤ f (x 0).
x_0 x x 0 0 - punctul minim al funcției f (x) f (x) f (x). dacă este suficient de aproape de toate punctele de inegalitate f (x) ≥ f (x 0) f (x) \ ge f (x_0) f (x) ≥ f (x 0).
Un semn de creștere și funcție descrescătoare
Funcția f (x) f (x) f (x) crește în intervalul (a, b) (a, b) (a, b). în cazul în care derivatul f '(x)> 0 f # X27; (x) \ gt 0 f' (x)> 0 în acest interval.
Funcția f (x) f (x) f (x) scade în intervalul (a, b), în cazul în care derivatul f „(x) <0 f'(x)\lt 0 f ′ ( x ) <0 на этом промежутке.
Semne ale funcțiilor maxime și minime
Dacă funcția f (x) f (x) f (x) este continuă în intervalul (a, b) (a, b) (a, b). creșteri în intervalul (a; x 0) (a; x_0) (a; x 0) și scade diferența (x 0; b) (x_0; b) (x 0; b). 0 atunci x x_0 x 0 este punctul funcției maxime.
Funcția maximă a unui semn se efectuează în cazul în care:
- f '(x)> 0 f # X27; (x) \ gt 0 f' (x)> 0 în intervalul (a, x 0) (a; x_0) (a; x 0)
- f '(x) = 0 f # X27; (x) = 0 f' (x) = 0, la punctul x 0 x 0 x_0
- f „(x) <0 f'(x)\lt 0 f ′ ( x ) <0 на промежутке ( x 0 ; b ) (x_0; b) ( x 0 ; b )
Dacă funcția f (x) f (x) f (x) este continuă în intervalul (a, b) (a, b) (a, b). scade în intervalul (a, x 0) (a; x_0) (a; x 0) și crește decalajul (x 0; b) (x_0; b) (x 0; b). 0 atunci x x_0 x 0 este o funcție minimă.
Caracteristici indicație minimă este îndeplinită în cazul în care:
- f „(x) <0 f'(x)\lt 0 f ′ ( x ) <0 на промежутке ( a ; x 0 ) (a; x_0) ( a ; x 0 )
- f '(x) = 0 f # X27; (x) = 0 f' (x) = 0, la punctul x 0 x 0 x_0
- f '(x)> 0 f # X27; (x) \ gt 0 f' (x)> 0 în intervalul (x 0; b) (x_0; b) (x 0; b)
punct critic
Momentul în care funcția derivat este zero.
Punctele critice ale liniei tangente este orizontală, ca tangenta unghiului de înclinare a tangentei (valoarea derivatului de la punctul de contact) este zero.
Trei tipuri de puncte critice:
x_2 x 2 x 2 - punct de inflexiune nu este un extremum punct.
x_3 x 3 x 3 - punctul maxim local. este un extremum;
Cum de a căuta puncte de funcții maxime și minime
Probleme ale funcțiilor de constatare Extrema sunt rezolvate prin procedura standard în etapa 3 3 3.
Pasul 1. Găsiți derivata funcției
y „(x) = (x 3 - 2 4 3 x + 1 septembrie) = 3 x 2 - cu 2 4 3. y # X27; (x) = (x ^ 3-243x + 19) # X27; = 3x ^ 2-243. y „(x) = (x 3 - 2 4 3 x + 1 septembrie) = 3 x 2 - 2 4 3.
3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x = 1 - 9. x 2 = 9. 3x ^ 2-243 = 0 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x ^ 2 = 81 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x_1 = -9, \, \, \, \, x_2 = 9. 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x = 1 - x 2 = 9. 9.
Pasul 3: Găsiți punctul de extremelor
Vom aplica această abordare pentru a rezolva următoarea problemă:
Găsiți punctul funcției maxime y = x 3 - 2 4 3 x + 1 y = x luna septembrie ^ 3-243x + 19 y = x 3 - 2 4 3 x + 1 în septembrie.
1) Găsiți derivatul: y „(x) = (x 3 - 2 4 3 1 x + 9) = 3 x 2 - 2 4 3; y # X27; (x) = (x ^ 3-243x + 19) # X27; = 3x ^ 2-243; y „(x) = (x 3 - 2 4 3 x + 1 septembrie) = 3 x 2 - 2 4 3;
2) Solve ecuația y '(x) = 0 y # X27; (x) = 0 y' (x) = 0. 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x = 1 - 9. x 2 = 9 3x ^ 2-243 = 0 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x ^ 2 = 81 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \ , \, \, x_1 = -9, \, \, \, \, x_2 = 3 Sept. x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x = 1 - 9. x 2 = 9
3) Derivatul este pozitiv pentru x> 9 x \ gt 9 x> 9 și x <− 9 x\lt -9 x <− 9 и отрицательная при − 9
Cum de a căuta cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției
Pentru a rezolva problema în căutarea pentru valorile maxime și minime ale funcției este necesară.
- Găsiți funcții punct de extremum pe un interval (interval).
- Găsiți valorile de la capetele și selectarea celei mai mari sau mai mică valoare a valorilor de la extremelor și la capete.
În multe probleme, teorema ajută.
Dacă intervalul este doar un singur punct extremale. care este punctul de minim, apoi a atins cea mai mică valoare a funcției. În cazul în care este punctul de mare, cea mai mare valoare este ea realizată.