Luați în considerare n industrii, fiecare dintre care produce produsele sale. Notăm - producția brută de producție i industrie. produsele consumate de fiecare industrie în acest sector și toate celelalte sectoare ale economiei (în caz contrar valoarea corespunzătoare a variabilei este zero), o parte din producția se consumă în afara sferei producției materiale și produsul final este numit. Notăm - produs de valoare produsă în industrie i, consumate în j sector, - valoarea produsului finit i industrie. Întrucât producția și consumul de produse din fiecare industrie poate fi scrisă ca
sau pentru toate sectoarele economiei regionale ca un sistem de ecuații
Construit un sistem de ecuații liniare se numește echilibrul sistemului. deoarece determină volumele produse și consumate produse industrie.
Valoarea se numește raportul costurilor directe și determină valoarea de ieșire a sucursalei i. care este consumată în industrie j. Apoi echilibrul sistemului de intrare-ieșire poate fi reprezentat ca un sistem de ecuații liniare
și ia în considerare ecuația matriceală (1.5.3), care corespunde sistemului (1.5.2)
în care matrice (vector) vectorul X este producția brută de industrie, matricea A este o matrice a costurilor sau matrice de proces direct, o matrice (vector) Y sunt vectori ai produsului final. Ecuația de matrice (1.5.3), se numește modelul Leontief balanței de intrare-ieșire și poate face față provocărilor de trei tipuri:
1) valorile cunoscute ale brute de ieșire ramuri X și matricea tehnologică A poate calcula valoarea produsului final Y:
unde E - matricea identitate. Prin urmare,
2) specifică valorile pentru Y și prelucrare a matricei produsului final A poate determina necesară ieșire X:
3) valorile cunoscute ale producției brute realizate de unele industrii. specificați valorile produsului final și alte industrii matricea costurilor directe poate determina un produs final primele ramuri și eliberare brut al doilea utilizând modelul Leontyeva sub formă de ecuații (1.5.2).
Matricea se numește matricea costurilor complete. ca fiecare din elementele sale - valoarea producției brute a industriei. necesare pentru a asigura eliberarea unității finale a produselor de vârf în industrie.
O matrice se numește productiv. că este, există o soluție pentru modelul Leontief, în cazul în care există un vector (matrice). asta.
criteriu de eficiență. Pentru matricea costurilor directe este productiv dacă și numai dacă una dintre condițiile:
1) există o matrice inversă. toate elementele din care sunt non-negativ,
2) seria matrice converge, iar suma este egală cu,
3) cel mai mare valoare proprie modulului. adică soluția ecuației caracteristice. a fost strict mai putin de un,
4) toate principale minori sunt pozitive.
Exemplul 1.5.1. Pentru sistemul de trei ramură a economiei dată de matricea A și costurile directe eliberarea brută X:
Este necesar să se calculeze vectorul produsului final.
Soluție: calculează matricea
Utilizarea (1.5.4), obținem
Exemplul 1.5.2. Tabelul următor prezintă fișă cu date de performanță pentru perioada de raportare (în unități convenționale):
- instituie un sistem de ecuații de echilibru ale problemei,
- găsi costurile tehnologice de matrice A directe,
- exploreze productivitatea matricei A și matricea pentru a găsi costurile totale B
- determină volumul necesar producției brute de fiecare industrie, în cazul în care produsul final în sectorul energetic a crescut de 2 ori, în inginerie - scădere cu 20% în petrol și gaze - va crește cu 30%.
Soluție: 1) pentru starea
Conform formulei obținem sistemul de ecuații de echilibru în regiune
Este evident că produsul global final din regiune este (unități monetare convenționale), iar cea mai mare contribuție în valoare de 72,97% din volumul total al industriei finale de inginerie produs.
2) Conform formulei obține
Astfel, matricea costurilor directe are forma
3) Pentru a studia matricea asupra productivității, utilizează criteriul eficienței. Dintre toate aceste condiții, selectați condiția pentru existența matricei inverse. Pentru a face acest lucru, mai întâi vom găsi matricea
și determinantul său
Deoarece matricea nedegenerata, atunci acesta are un invers
. Criteriul În consecință, productivitatea este configurată (prima condiție), matricea productivă și modelul Leontyeva are o soluție.
Găsim cofactori elementelor matricei:
- Matricea din costurile totale.
4) Pentru a realiza starea, în valoarea perioadei a produsului final cuprins:
În cazul în care produsul final în sectorul energetic a crescut de 2 ori, atunci noua valoare va fi
În cazul în care produsul final în mașini a scăzut cu 20%, noua valoare va fi
Apoi, produsul final va arata ca vector
Cantitatea necesară producției brute pe ramuri de activitate
În consecință, puterea brută este de a ajunge la 689.881, inginerie mecanică - 680.005, produse petrochimice - 520.055 unități monetare convenționale.
Problema 1. Pentru sistemul cu trei ramuri a economiei dat de matricea A și costurile directe, X. brut vector de ieșire, este necesar să se calculeze produsul final.
2. Matricea tehnologică Problema costurilor directe în balanța interprofesională are forma:
Calculati vectorul X. brut de ieșire Dacă aveți nevoie pentru a obține un produs final în primul sector - 70 de mii de ruble, a doua - 230 de mii de ruble, în al treilea - 160 de mii de ruble, adică,
Problema 3. Tabelul prezintă bilanțul de performanță pentru perioada de raportare (unități condiționate):