Problema 1. Demonstrați că până la un factor de multiplicare numeric $$ \ int \ prod_i dx_i \; e ^ x_j> = (\ det M) ^ $$ (însumare peste $ i, j $ este implicat), unde $ M_ $ - matrice simetrică cu toate valorile proprii pozitive. Trimite o decizie
Problema 2. Se calculează integral $$ \ int \ prod_i (dx_i dx_i ^ *) \: e ^ x_j + \ alpha_i ^ * x_i + x_i ^ * \ alpha_i>, unde $$ $ M_ $ - matrice Hermitian, $ \ alpha_i $ - parametrii complecși și integrarea complexe variabile $ $ x_i arata ca $$ \ int dx_i dx_i ^ * F (x, x ^ *) = \ int d (Re \: x) d (Im \: x) F (x , x ^ *). $$ Trimite o decizie
Problema 3. Definirea integralei peste fermionice variabila $ \ Psi $, $ \ bar $ $$ urmeaza \ int d \ Psi d \ bar = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ Psi = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar = 0 $$ $$ \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar \ Psi = 1. $$ În plus, presupunem că variabila $ d \ Psi, d \ bar, \ Psi, \ bar $ anticommute. În special, $ \ Psi \ cdot \ Psi = 0 $. Arată că până la un factor de multiplicare numeric $$ \ int \ prod_i (d \ Psi_i d \ bar_i) \: e ^ _I M_ \ Psi_j + \ bar_i \ Psi_i + \ bar_i \ alpha_i> = e ^ ^ _I M_ \ alpha_j> \ cdot \ det M, în cazul în care toate $$ $ d \ Psi_i, d \ bar_i, \ Psi_i, \ bar_i $ anticommute, $ \ alpha_i $, $ \ bar_i $ - parametrii care anticommute atât între ele cât și cu $ \ Psi_i, \ bar_i $; $ M $ - matrice non-singular, $ i, j = 1, \ puncte, N $. Notă: a) Arătați mai întâi că fermion invarianta integrală în ceea ce privește schimbările $ \ Psi_i \ rightarrow \ Psi_i + C_i $, în cazul în care $ C_i $ - opțiunea anticommutes. b) Verificați dacă $$ \ int d \ Psi_N \ dots d \ Psi_1 d \ bar_N \ dots d \ bar_1 \ bar_ \ dots \ bar_ \ Psi_ \ dots \ Psi_ = \ varepsilon_ \; \ varepsilon_. $$ Trimite o decizie