Calcularea zonelor de figuri plane
Fie f (x) ≥0 să ia în considerare trapez curbat delimitate de curbe Impartim intervalul [a, b] în afară de puncte, vom alege în cadrul fiecărui punct elementar al segmentului. Înlocuiți trapez curbat delimitată de liniile y = 0, x = xi. x = xi + 1. y = f (x), dreptunghi. Dacă f - funcție continuă, atunci suprafața dreptunghiului este suficient de mică și aproape de suprafața unui trapez înlocuit. Rezumând, vom obține, pe de o parte, valoarea aproximativă a zonei unui trapez curbilinie, pe de altă parte, suma integrală a unei integrale. Luând limita ca creșterea numărului de puncte de partiționare, obținem zona S a trapezoidele curbe originale
Noi numim zona elementară trapez în cazul în care este delimitată de curbe x = a, x = b, y = f1 (x), y = f2 (x), iar inegalitatea pentru toate f1 (x) ≤ f2 (x). Este ușor de observat că pentru un câmp simplu
În mod similar, în cazul în care toate trapezului curbiliniu delimitate de curbele y = c, y = d, x = # 966; 1 (y), x = # 966; 2 (y) (zona elementar al doilea tip), avem
În general, o regiune plană este împărțit în tipuri de regiune parțiale discutate mai sus.
exemple
1. Găsiți aria figurii delimitată de liniile y = x 2 și x = y 2.
Aceste curbe se intersectează în punctele A (0,0) și B (1,1). prin urmare
2. Găsiți aria figurii delimitată de liniile 2 y = 2x + 1 și x-y-1 = 0.
Aceste curbe se intersectează în punctele A (0, -1) și B (4,3). În acest caz, este mai bine să ia în considerare zona elementar de al doilea tip. prin urmare
Calculul volumelor
Să presupunem că domeniul este astfel încât pentru zona cunoscută secțiune S (x) planul x = const Apoi, înlocuind volumul zonei închise între plane x = xi. x = xi + 1 la volumul cilindrului se obține
Pentru corpurile obținute prin rotirea curbei y = f (x) în jurul axei OX, avem. Dacă curba este rotită în jurul axa OY, atunci.
exemple
1. Se calculează trapezului delimitate de curbele volumului corp, obținut prin rotirea în jurul axei trapezului
Înlocuind în formulă,
Calcularea lungimii arcului curbei
Să considerăm curba L. diviza curba în părți prin punctele (xi, yi), i = 1 n. Înlocuiți arcul curbei între punctele (xi. Yi) și (xi + 1. Yi + 1) coarda care unește punctele. Apoi, avem lungimea arcului. Însumând peste toate punctele de diviziune, obținem
Să curba dată parametric, sau ceea ce este același lucru, în formă de vector. Apoi, în cazul în care - un punct care se află între TI și Ti + 1. Luând limita ca creșterea numărului de puncte de partiționare au
(2.1)
In mod similar, pentru curba spațială definită parametric sau că aceeași, în formă de vector, o lungime curba este
(2.2)
Pentru curba definită prin ecuația explicită, ecuația (2.1) devine
(2.3)
Dacă curba este definită în polare sistem de coordonate, atunci
Prin substituirea formulei pentru lungimea curbei, obținem
(2.4)
exemple
1. Găsiți lungimea arcului curbei y = ln (x), între punctele Deoarece curba este definită în mod explicit, The. Noi facem schimbarea. atunci de ce
2. Găsiți lungimea arcului curbei între punctele conținute t1 = 0 și t2 = 2π.
Deoarece curba este dat parametric, atunci de ce
.
Vă recomandăm, de asemenea, posibilitatea de a rezolva integralelor on-line.