Seria numerică poate fi setată în mod diferit. Cel mai adesea, pur și simplu utilizați de înregistrare de tip $ \ suma \ limits_ ^ u_n $. Cu toate acestea, uneori indică primele câțiva termeni ai seriei pentru care doriți să le restaurați termenul general al seriei. Sincer, aceste sarcini nu sunt singura soluție, iar acest lucru va fi demonstrat în Exemplul №1. Cu toate acestea, există unele tehnici generale, care sunt utilizate în cazurile standard.
Pentru început, merită să ne amintim câteva secvențe. De exemplu, pătrate de numere întregi pozitive, și anume secvență $ u_n = n ^ 2 $. Aici sunt primele câteva termenii secvenței:
Cum am ajuns aceste numere? Afișați \ ascunde
Termenul total al secvenței este de forma $ u_n = n ^ 2 $. Substituind $ n = $ 1, obținem:
Acesta este primul termen al secvenței. Substituind $ n = 2 $ in $ u_n = n ^ 2 $, obținem al doilea termen al secvenței:
Dacă înlocuim $ n = 3 $, vom obține al treilea termen al secvenței:
În mod similar, vom găsi patra, a cincea, a șasea, și alți termeni ai secvenței. Așa am obține un număr corespunzător:
De asemenea, merită având în vedere termenii secvenței $ u_n = n ^ 3 $. Iată câteva dintre primul dintre membrii săi:
În plus, pentru formarea unui termen comun al seriei adesea folosite secventa $ u_n = n $, primii membri din care sunt:
Record "n!" (Read „en factorial“) reprezintă produsul tuturor numerelor întregi de la 1 la n, adică,
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ n cdot. $$
Prin definiție, se presupune că $ 0! = 1! = 1 $. Exemplul 5 Pentru a găsi.
5 $$! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$
Adesea folosit ca aritmetică și progresii geometrice. Dacă primul termen al unei progresii aritmetice este de $ a_1 $, iar diferența este de $ d $, termenul general al unei progresii aritmetice este înregistrată folosind această formulă:
Ce este o progresie aritmetică? Afișați \ ascunde
progresie aritmetică - secvența de numere în care diferența dintre ulteriori și membrul anterior este neschimbat. Această diferență se numește diferența constantă în progresie. De exemplu, luați în considerare următoarea secvență:
Vă rugăm să rețineți că, indiferent de ce pereche de elemente adiacente nu ne-am luat, diferența dintre membrii precedente și ulterioare vor fi întotdeauna constantă și egală cu 7:
\ începe 10-3 = 7; \\ 7 = 17-10; \\ 7 = 31-24; \ Ldots \ end
Acest număr, și anume 7, și este progresia diferența. De obicei, aceasta notată cu litera d $ $, adică, $ D = 7 $. Primul element de progresie $ a_1 = 3 $. Termenul general al write progresie prin formula (4). Substituind în ea $ a_1 = 3 $ și $ d = $ 7, avem:
Pentru claritate, vom găsi formula $ a_n = 7n- $ 4 primele termenii unei progresii aritmetice:
\ începe a_1 = 7 \ cdot 1-4 = 3; \\ a_2 = 7 \ cdot 2-4 = 10; \\ a_3 = 7 \ cdot 3-4 = 17; \\ a_4 = 7 \ cdot 4-4 = 24; \\ a_5 = 7 \ cdot 5-4 = 31. \ end
Substituind în formula $ a_n = $ 7n- 4. Orice numere de valoare $ n $, puteți obține orice membru al unei progresii aritmetice.
De asemenea, este demn de remarcat o progresie geometrică. Dacă primul termen al progresiei este $ b_1 $, iar numitorul este egal cu $ q $, termenul general de o progresie geometrică este dată de formula:
Ce este o progresie geometrică? Afișați \ ascunde
progresie geometrică - o secvență de numere în care raportul dintre membrii ulterioare și anterioare în mod constant. Acest raport constant se numește progresia numitor. De exemplu, luați în considerare următoarea secvență:
$$ 6; \; 18; \; 54; \; 162; \; 486; \; 1458; \; 4374; \ Ldots $$
Vă rugăm să rețineți că, indiferent de ce pereche de elemente adiacente, nu avem, ulterior atitudinea anterioară va fi întotdeauna constantă la 3:
Acest număr, și anume 3 este numitorul progresie. Acesta este de obicei notată cu litera $ $ q, adică, $ Q = 3 $. Primul element de progresie b_1 $ = $ 6. Termenul general al write progresie prin formula (5). Substituind în ea $ b_1 = 6 $ și $ q = $ 3, avem:
Pentru claritate, vom găsi formula = $ b_n 6 \ cdot 3 ^ $ primele termeni de progresie geometrică:
\ începe b_1 = 6 \ cdot 3 = 0 = 6; \\ B_2 = 6 \ cdot 3 ^ 1 = 18; \\ B_3 = 6 \ cdot ^ 2 = 3 54; \\ B_4 = 6 \ cdot ^ 3 = 3 162; \\ B_5 = 6 \ cdot ^ 4 = 3 486. \ end
Substituind în formula = $ b_n 6 \ cdot 3 ^ $ Orice numere de valoare $ n $, puteți obține orice membru al unei progresie geometrică.
În toate exemplele de mai jos punct de vedere al seriei va fi notată cu $ u_1 $ (primul termen al seriei), $ u_2 $ (al doilea termen al seriei) și așa mai departe. Record de $ u_n $ va desemna termenul general al seriei.
Găsiți termenul general de $ \ frac + \ Frac + \ Frac + \ Frac + \ ldots $.
Esența acestor obiective este de a observa un model, care este caracteristică primilor membri ai seriei. Și pe baza acestei legi pentru a concluziona că termenul general al formei. Ce înseamnă expresia „a găsi un membru comun“? Aceasta înseamnă că trebuie să găsească o expresie, înlocuind în care $ n = 1 $ obținem primul termen al seriei, și anume, $ \ Frac $; inserarea $ n = 2 $ obținem al doilea termen al seriei, și anume, $ \ Frac $; inserarea $ n = 3 $ obținem al treilea termen al seriei, și anume, $ \ Frac $ și așa mai departe. Suntem familiarizați cu primele patru termeni ai seriei:
Să mergem pas cu pas. Toți membrii cunoscuți ai seriei - împușcat, deci este rezonabil să se presupună că termenul general al seriei este, de asemenea, reprezentat de o fracție:
Sarcina noastră - pentru a afla ce se ascunde sub semnele de întrebare în numărătorul și numitorul. Revenind în primul rând la numărătorul. Numărătorii de cunoscuți membri ai seriei sunt numerele 1, 2, 3 și 4. Rețineți că numărul fiecărui membru al seriei este egală cu numărătorul. Primul termen în numărătorul este unitatea, în al doilea - doi, în al treilea - trei, în a patra - patru.
Este logic să presupunem că termenul n-lea în numărătorul va fi de $ n $:
De altfel, această concluzie putem veni și un alt mod, într-o mai formal. Aceasta este o secvență de 1, 2, 3, 4? Rețineți că fiecare termen al secvenței este 1 mai mult decât anterior. Avem de a face cu patru membri ai unei progresii aritmetice, primul membru al cărui $ a_1 = $ 1, iar diferența de $ d = 1 $. Folosind ecuația (4). Obținem expresia progresului general al membrului:
Deci, ghicitul sau formale de calcul - o chestiune de gust. Principalul lucru - am înregistrat numărul total de membri ai numărătorul. Să trecem la numitor.
La numitor, avem o secvență de 7, 9, 11, 13. Acest membru progresie cu patru aritmetică, primul membru este egal cu $ b_1 = 7 $ și $ d = diferența între 2 $. membru În general progresie găsi, folosind formula (4):
Rezultată de expresie, și anume $ 2n + 5 $, și este numitorul termenul general. Deci:
Termenul total al seriei este primit. Să verifice conformitatea formulei noastre a găsit $ u_n = \ frac $ pentru a calcula cunoscute membri ai seriei. Am găsit membri $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ și $ $ U_4 formula $ u_n = \ frac $. Rezultatele, desigur, ar trebui să coincidă cu noi Amplasată la starea primelor patru termeni ai seriei.
Asta-i drept, rezultatele sunt aceleași. Specificată în numărul de condiție poate fi acum scrise în această formă: $ \ sum \ limite _ ^ \ frac $. Termenul general al formularului $ u_n = \ frac $.
Este un astfel de număr nu are dreptul de a exista? Cu toate acestea, ea are. Și pentru această serie poate fi scris că
Puteți înregistra și un alt sequel. De exemplu, acest lucru:
Și o astfel de extindere nu contrazice nimic. În acest caz, putem scrie
În cazul în care primele două opțiuni părea prea formal pentru tine, atunci am oferi un al treilea. Să ne scrie termenul general de forma:
Calculăm primele patru termeni ai seriei, folosind formula propusă termenul general:
Dupa cum se poate vedea, propus formula generală termenul este destul de corect. Și aceste variații pot veni cu un număr infinit, numărul nu este limitat. În exemplele convenționale, desigur, un set standard de anumite secvențe cunoscute (progresie grade factoriale, etc.). Cu toate acestea, astfel de probleme sunt întotdeauna prezente incertitudine, și este de dorit să se păstreze în minte.
În toate exemplele următoare, această ambiguitate nu va fi stipulată. Rezolva tehnici standard devin, care sunt acceptate în majoritatea cărților de probleme.
Răspuns. termenul general al seriei: $ u_n = \ frac $.
Știm primele cinci termeni ai seriei:
Toți membrii cunoscuți ai seriei - fracțiunea, și apoi termenul general al seriei va fi solicitată sub formă de fracții:
rândul său, imediat atenția către numărătorul. In toate numărătorii sunt una, și, prin urmare, în numărul total de membri ai numărătorul este unitate, și anume,
Revenind acum la numitor. Numitorii membrilor cunoscuți ai primei serii aranjate numerele de produs: $ 1 \ cdot $ 5 $ cu 3 \ cdot 8 $, 5 $ \ cdot $ 11, $ 7 \ cdot $ 14, $ 9 \ cdot $ 17 ani. Primul dintre aceste numere sunt după cum urmează: 1, 3, 5, 7, 9. Această secvență are un prim element de $ a_1 = 1 $, și fiecare se transformă ulterior din adiția anterioară de $ d = 2 $. Cu alte cuvinte, primii cinci termeni ai unei progresii aritmetice, termenul general care pot fi scrise utilizând formula (4):
În lucrările de $ 1 \ cdot $ 5, $ cu 3 \ cdot 8 $, 5 $ \ cdot $ 11, $ 7 \ cdot 14 $, $ 9 \ cdot 17 $ numere doilea sunt: 5, 8, 11, 14, 17. Acestea sunt elementele unui progresie aritmetică, primul membru al cărui $ b_1 = $ 5, iar numitorul $ d = 3 $. Termenul general al write progresie folosind toate aceeași formulă (4):
Să ne prezentăm rezultatele împreună. Produsul dintr-o serie de termen general numitorului este astfel: $ (2n-1) (3n + 2) $. Și termenul general al seriei este după cum urmează:
Pentru a verifica rezultatul vom găsi formula $ u_n = \ frac $ sunt primele patru termeni ai seriei, care ne sunt cunoscute:
Astfel, formula $ u_n = \ frac $ calculeze cu exactitate termenii seriei cunoscute de condiție. un număr predeterminat poate fi înregistrat, dacă doriți acest lucru:
Continuarea acestui subiect să fie discutate în a doua și a treia părți.