Funcția inductiv asupra secvențelor și extensie inductiv
In exemplele de mai sus pot fi calculate prin adăugarea la secvența altui membru pe noua valoare a secvențelor funcționale, cunoscând doar vechea valoare a funcției și elementul adăugat. Denote secvență Sn
lungime n. cu semn denotă operația de atribuire a unui element nou la consistența dreapta (este, de asemenea, numit înlănțuire):
Fie f (S) - o funcție pe setul de secvențe, cum ar fi elementele secvenței. Funcția se numește inductiv, dacă adăugați un element nou la noua valoare a secvențelor funcționale poate fi calculată cunoscând doar vechea valoare a funcției și elementul de adăugat. În funcție de limbaj matematic
unde W - mulțimea tuturor secvențelor de elemente trase dintr-un set inductiv X. dacă funcția G a două argumente
astfel încât pentru orice secvență de W S și orice element de valoare X a unei funcții f secvențelor S. la care elementul a adăugat. calculat folosind G:
Funcția G pentru perechea (y, a). unde y - vechea valoare a funcției f în secvența S, și un - element adăugat secvența, calculează o nouă valoare a lui y. egală cu valoarea funcției f pentru o nouă secvență.
În exemplul cu suma elementelor în funcție de secvență G y este suma elementelor și:
(Adică, funcția f este o mapare compoziție F și P. f = P * F.) Se afișează P numită de obicei proiecția set Z în Y.
Cum de a construi o extensie inductivă a funcției f. Acesta este un punct de plan creativ pentru toate situațiile nu există. reteta informală este după cum urmează: este necesar să se înțeleagă ce informații lipsesc, pentru a putea calcula noua valoare a funcției în secvența prin adăugarea unui nou element de secvență. Aceste informații ar trebui să fie stocate în plus față de valoarea funcției. Prin urmare, a existat o prelungire pe termen: calculat mai complicat, avansat, caracteristică. că pe ea și apoi a restabili originalul. De obicei, valoarea F este pereche inductiv de expansiune (y, h). în cazul în care y - valoarea funcției inițiale f. și h - unele informații suplimentare. permițând recalcularea valorii y atunci când se adaugă un element nou la secvența. Astfel, valorile setate ale inductivă expansiune Z
adesea o multitudine de perechi (y, h). și anume produs cartezian:
Vedem că, pentru a calcula o nouă valoare a derivatului este necesar să se cunoască valoarea veche a instrumentului derivat și vechea valoare a polinomului. Prin urmare, în plus față de valoarea derivatului polinomului trebuie să fie stocate chiar valoarea polinomului. Astfel, funcția de extensie inductiv. egală cu derivata polinomului la punctul t. Este o pereche (valoarea derivatului valorii polinomului):
Noua valoare a derivatului calculat prin formula de mai sus, prin valoarea veche și vechea valoare a derivatului polinomului. După aceea, noua valoare este calculată printr-o schemă de polinom Horner.
Să ne scrie algoritmul de calcul derivata polinomului.
Un alt exemplu de funcții non-inductive - este valoarea mediei aritmetice a elementelor de secvență medie. Extensia este cuplu inductiv (elementele secvenței, lungimea secvenței):
Este ușor de observat că F este inductiv. Pentru o valoare cunoscută de F nu este dificil să se calculeze funcția inițială:
Deci, în fiecare caz în calculul funcției de bază non-inductive f trebuie să inventeze de expansiune inductivă F și program de a calcula prima extensie inductivă F. și apoi se calculează valoarea F valoarea necesară a funcției inițiale f.