1. Să presupunem că - setul de rezultate posibile (se va lua în considerare rezultatele monetare). loterie simplă va fi numit un set de probabilități. în cazul în care - probabilitatea unui rezultat și. Setul de loterii simple, prin intermediul.
Definiția. Preferințele consumatorilor au reprezentat o funcție de utilitate așteptat. dacă aveți posibilitatea să atribuiți un număr fiecărui rezultat în așa fel încât pentru oricare două loterii și dintr-o varietate de loterii simple de: echivalent.
Funcția U. definită la loterii, numită funcție de utilitate așteptată sau de utilitate funcția Neumann-Morgenstern (von Neumann-Morgenstern).
Funcția. definite pe sumele de bani, numită funcția elementară a utilității sau funcție a utilității Bernoulli (presupunem continuă și creșterea acestuia).
Aserțiune (Unicitatea funcției de utilitate așteptată) .Dacă funcția - o funcție de utilitate așteptat, ceea ce reprezintă preferințele definite pe. apoi - altă funcție de utilitate așteptată, care reflectă aceeași preferință pe dacă și numai dacă există un număr, astfel încât pentru orice loterie.
Definiția. Noi spunem că aversiunea față de risc individuale. în cazul în care orice loterie nu mai bine decât payoff așteptat de o loterie pentru el. obținute cu certitudine. În cazul în care consumatorul strict preferă de așteptat câștiga la loterie în sine, se spune că el puternic potrivnic de risc sau riskofob.
Noi spunem că individul este neutru de risc. dacă el este indiferent între loterie și câștigul său de așteptat, obținut cu certitudine.
Noi spunem că individul este predispus la risc. în cazul în care preferă loterie de așteptat câștig obținut cu certitudine. În cazul în care consumatorul preferă strict loterie payoff așteptată, se spune că este strict înclinată să își asume riscuri sau riskofil.
În cazul în care preferințele individuale pot fi reprezentate printr-o funcție de utilitate așteptat, aversiunea la risc este concavitatea funcției de utilitate a unității (pentru riskofoba - strict concave); apetitul pentru risc este echivalentă cu convexitatea funcției de utilitate elementară (pentru riskofila - convexitate strict); la funcția de utilitate elementar individ neutru risc este liniar :. în cazul în care. sau.
Opredelenie.Denezhnym (garantat) echivalentul loterie este suma de bani (obținute cu certitudine), care aduce individul aceeași utilitate ca și această loterie :.
Prima de risc - suma maximă de bani din care individul este dispus să dea, să nu participe la risc :.
Aprobarea. Pentru individ-riskofoba pentru orice loterie realizată (și anume evaluează orice loterie într-o cantitate mai mică câștig estimată a acestuia).
2. Modelul pentru cererea de asigurare.
Luați în considerare-riskofoba preferințele individuale care sunt descrise de utilitatea așteptată cu o funcție de utilitate elementară diferențiabilă. Să bogăția de îngrijire individuală. Cu toate acestea, există posibilitatea pierderii acestei bogăție egală. . ca urmare a unor accidente, probabilitatea de care este egală cu. O persoană poate achiziționa o asigurare împotriva accidentelor de risc companie de asigurări neutre, nu costurile de exploatare și costurile de transport pe unitatea de acoperire (). Să - este cantitatea de acoperire de asigurare achiziționate de către individ, și anume, este suma pentru care acesta este asigurat. Presupunem că suma de asigurare în plus față de pierderea, este interzisă, și anume . În cazul în care o persoană cumpără unitate de asigurare, averea lui la apariția unui accident va fi. și de altfel -. Individul selectează un domeniu de acoperire care asigură utilitatea maximă prevăzută, și anume este o soluție la următoarea problemă:
În cazul. noi spunem că condițiile de asigurare actuarială echitabil. și dacă spunem că asigurarea nu este actuarială corect.
rădăcină reală a multiplicitate
b) rădăcina reală a multiplicitate. Dacă rădăcina ecuației caracteristice are multiplicitate, atunci, desigur, nu putem folosi același tip de soluții parțiale. corespunzătoare acestei rădăcină, deoarece Wronski determinant va avea aceleași coloane și, prin urmare, dispare. În această formă, vom fi în măsură să ia doar una dintre soluțiile particulare. Se poate demonstra că toate soluțiile parțiale, corespunzătoare la rădăcina ecuației caracteristice au forma. adică funcțiile. satisfac ecuația diferențială inițială omogenă. Remarcăm în primul rând că, dacă - o rădăcină de multiplicitate a ecuației, apoi - rădăcina orice ecuație.
Ne arată cum să efectueze dovada că (cazul) satisface ecuația omogenă originală. Substituind partea stângă a ecuației diferențiale omogene originale și obținerea
Prima expresie din paranteză dispare, deoarece - rădăcina ecuației caracteristice, a doua expresie dispare în paranteze pătrate, ca - rădăcina ecuației. În mod similar se poate demonstra că funcția. satisfac ecuația diferențială inițială omogenă.
EXEMPLU EXEMPLU. Pentru a rezolva ecuația diferențială omogenă. Ecuația caracteristică este dată. și, prin urmare, are rădăcini 0 (multiplicitate patru) și 1 (multiplicitate de doi). Deci, soluția generală a ecuației diferențiale este funcția originală.
c) Simplă rădăcină complexă. La rezolvarea unei ecuații algebrice cu coeficienți reali complex prezență rădăcină asigură prezența complexului rădăcină conjugat. Prin urmare, s-ar putea ca soluții particulare care corespunde perechii de rădăcini pentru a lua funcția. Cu toate acestea, pentru a nu atrage numere complexe pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu coeficienți reali, folosind formula lui Euler. în funcții iau ca soluții parțiale și.
EXEMPLU EXEMPLU. Pentru a rezolva ecuația diferențială. Ecuația caracteristică este ecuația. Rădăcinile acestei ecuații sunt (de 2 ori) și rădăcini complexe. Prin urmare, soluția generală are forma.
d) Complex rădăcini multiplicitate. În cazul în care ecuația caracteristică are două rădăcini conjugate complexe multiplicitate, care corespunde acestor soluții parțiale rădăcinile ecuației diferențiale omogene corespunzătoare au forma. și.
EXEMPLU EXEMPLU. Pentru a rezolva ecuația diferențială. Ecuația caracteristică poate fi scrisă. De aceea, rădăcinile ecuației caracteristice sunt (de 2 ori) și (2 ori). Prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale omogene dat va funcționa.
Soluția ecuației neomogene. Știm deja cum să găsească o soluție generală a ecuației omogene. Pentru a găsi soluția generală a ecuației neomogene, aveți nevoie pentru a găsi o soluție particulară a ecuației neomogene și se adaugă la găsit deja soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare. Într-adevăr, lăsați - soluția generală a ecuației omogene. conținând constante arbitrare. Dacă satisface ecuația neomogenă. funcția satisface aceeași ecuație neomogenă conține constante arbitrare.
Astfel, problema găsirii unei soluții generale a ecuației neomogene se rezumă la problema găsirii unei soluții particulară a ecuației neomogene. Există diferite metode pentru construirea unor astfel de soluții. Luați în considerare metoda de variație a constantelor arbitrare, ceea ce permite să se obțină imediat o soluție generală a ecuației neomogene.
Esența acestei metode constă în faptul că, având o soluție omogenă a ecuației corespunzătoare în formă. căutăm o soluție generală a ecuației neomogene în forma și selectați aceste funcții necunoscute. că funcția satisface ecuația neomogenă. Se pare că este suficient ca acești derivați ai funcțiilor necunoscute satisfac sistemul
Să ne dovedesc acest lucru pentru cazul. Să presupunem că vrem să rezolve ecuația. este dat soluția ecuației omogene. și. Luați soluția generală a ecuației neomogene în forma și substitui ecuația neomogenă. Avem:
Expresiile care au multiplicatori și dispar, așa că avem:
Să. Luând derivatul de ambele părți ale acestei ecuații, obținem. Prin urmare, pentru a funcționa este o soluție a ecuației neomogene este pus.
EXEMPLU EXEMPLU. Pentru a rezolva ecuația diferențială. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzător are forma. Prin urmare, soluția generală a ecuației omogene - funcție. Prin urmare, soluția generală a ecuației neomogene este solicitată în formă. Pentru a determina funcțiile necunoscute formează un sistem pe derivații lor
Reducerea ecuației. obținem un sistem cu un factor determinant principal egal cu 1. Rezolvarea sistemului și integrarea,
. Soluția generală a ecuației inițiale este acum scrisă în formă. Rețineți că arbitrarietatea expresiei constante poate fi înlocuită cu expresia. Prin urmare, soluția poate fi scrisă ca.