Care este sensul geometric al funcției diferențiale?
3. Proprietățile diferențiale.
Formula pentru calcul aproximativ.
Cum de a găsi eroarea în funcția aproximativă a creșterii?
Lucrări practice №5
„O funcție completă de investigare. Trasarea "
Obiectiv: Pentru a crea funcția de abilități de cercetare în cadrul regimului general și construirea programului său.
Cu ajutorul derivatului pentru a rezolva cele mai diverse aplicații. În special, conceptul de derivat este un instrument puternic pentru studierea funcției.
Funcția. definite la toate punctele din spațiu. a declarat a fi în creștere (scădere) diferența, în cazul în care oricare două valori argument aparținând intervalului, cel mai mare dintre ele corespunde unei valori mai mari (mai mică) a t funcției. e,
în cazul în care. apoi - în creștere - în scădere.
Din această definiție care are același semn, motiv pentru care atitudinea lor este pozitivă pentru o funcție crescătoare a creșterii argumentului și funcțiile. Pentru scăderea incrementul funcției au semne diferite, motiv pentru care.
Teorema. Daca functia f are un derivat pozitiv în fiecare punct al intervalului l, atunci această funcție este crescută în acest interval. Daca functia f are un derivat negativ, la fiecare punct al intervalului l, această funcție scade în acest interval.
Punctele la care derivatul este zero sunt numite puncte de staționare ale funcției. Punctele la care derivatul este zero sau nu există, numite puncte critice.
Aceste valori ale argumentului pentru care funcția atinge maxim și minim sale în raport cu valori similare, numite puncte de maxim și minim
Definiția. Tochka X0 este punctul de minim al funcției f, în cazul în care există o vecinătate a lui X0. că pentru toate x în cartier
Definiția. Tochka X0 este punctul de maxim al funcției f, în cazul în care există o vecinătate a lui X0. că pentru toate x în cartier
puncte minime și maxime sunt numite puncte de extremele funcției și valoarea funcției la aceste puncte sunt numite extreme funcții.
Teorema (Farm). Dacă x0 este un extremum punct al functiei f, moment în care derivatul, este egal cu zero: f „(x0) = 0.
Contactarea primul derivat este zero este necesar. dar nu suficientă, pentru un extremum.
Teorema (prima condiție suficientă a existenței extremum).
Să presupunem că funcția f (x) este diferențiabilă într-o vecinătate a lui x0. Dacă trec prin punctul x0 din stânga derivat f / (x) se modifică semn de la plus la minus, apoi la punctul x0 functia f (x) are un maxim.
Dacă la trecerea prin derivatul x0 punctul f / (x) își schimbă semnul său de la plus la minus, punctul x0 este un punct minim
Fuller va examina funcția, dacă putem găsi lacune convexitatea funcției de al doilea derivat.
În cazul în care pentru orice interval de puncte x1 și x2 [a; b] AB secantă trece sub graficul funcției f (x), funcția f este convexă în sus.
Este definit în mod similar funcționează în jos convexe.
De două ori pe diferențiabile [a; b] f (x) este convex în sus, dacă este cazul.
De două ori pe diferențiabile [a; b] funcția f (x) este convexă în jos, dacă pentru orice
Astfel, derivata a doua este egal, ceea ce implică faptul că o funcție pătratică este convexă în jos de-a lungul domeniului.
punctul x0 este punctul de inflexiune funcției f, în cazul în care în acest moment schimbă direcția de convexitate sale.
Condiția necesară pentru prezența punctelor de inflexiune. Dacă x0 - funcția punct de inflexiune f (x), iar funcția f (x) este derivata a doua este continuă în acest punct, atunci
De multe ori există sarcini în cazul în care aveți nevoie pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe intervalul. Pe intervalul [a, b] funcția y = f (x) poate ajunge la cea mai mică sau cea mai mare valoare sau punctele critice sau segmentele de la capete [a, b].
Schema generală de construcție a graficelor de funcții:
1) Găsiți domeniul funcției.
2) Pentru a investiga funcția de paritate sau paritate impar, periodicitate.
3) Găsiți graficul punctelor de intersecție cu axele de coordonate.
4) Găsiți punctul de discontinuitate, asimptota graficului.
5) Pentru a investiga funcția folosind primul derivat (Găsiți intervale monotonie și extremelor funcției).
6) Pentru a investiga funcția folosind derivata a doua (Găsiți intervale convexitate și punctul de inflexiune).
7) Găsiți puncte suplimentare, dacă este necesar.
8) Construiți un grafic, folosind rezultatele studiului.
Exemplul 1. Plot functia y = x 3 -6x 2 + 9x-3.
2) y (-x) = (- x) 3 -6 (-x) 2 +9 (-x) -3 = -x 3 -6x 2 -9x-3. Funcția nu este nici măcar, nici ciudat. Funcția neperiodice.
3) T. intersecția cu axa Oy; x = 0, y = -3. (0; -3)
4) Această funcție nu are puncte de discontinuitate, prin urmare, nici o asymptotes verticale.
Tk nici un asimptote oblice.
5) Să ne găsim derivata acestei funcții:
Să ne rezolve ecuația y „= 0: 3 2 -12h + 9 = 0,
Studiul în funcția spații x<1 и x>3 crește, și în intervalul 1 Este convenabil să prezinte rezultatele cercetării în tabelul următor: