Începem să studiem integralei care sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale tehnologiei. Studiul va începe cu o integrală nedefinită.
Antiderivative și nedeterminată integrală
Sarcina principală a calculului diferențial este o derivare a funcțiilor de date, cu alte cuvinte, sarcina de a găsi rata de schimbare a funcției. Numeroase probleme de știință și tehnologie conduc la formularea problemei inverse: pentru o funcție dată f (x) pentru a recupera un F (x) funcția pentru care f ar fi derivate (x): F ¢ (x) = f (x).
Definiția. Funcția F (x) se numește primitivă f (x), în cazul în care
F ¢ (x) = f (x) sau dF (x) = f (x) dx.
2) f (x) = cosx, F (x) = sinx.
Este ușor de observat că această funcție f (x) = 3x 2 corespunde mai mult de un primitiv, iar setul: x 3; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.
Intr-adevar, (x 3) ¢ = 3x 2; (X 3 + 1) ¢ = 3x 2; (X 3 - 1) ¢ = 3x 2 ;. (X 3 + C) ¢ = 3x 2.
În general, în cazul în care F (x) - primitivă a acestei funcții f (x), funcția primitivă este funcția F (x) + c „CuÎR, tk.:
[F (x) + c] ¢ = F ¢ (x) = f (x).
Epuizați de multimea primitivelor lui f (x) expresii de forma F (x) + C sau primitivelor au această caracteristică nu poate fi obținută de la F (x) + C pentru orice valoare a C? Se pare că afirmația este adevărată: nici o altă primitivă funcția f (x) nu este. Cu alte cuvinte, în cazul în care F1 (x) și F2 (x) - două primitivelor pentru f (x), F1 (x) = F2 (x) + C,
unde C - o constantă.
Într-adevăr, din moment ce F1 (x) și F2 (x) - primitivelor pentru f (x), atunci
Luați în considerare diferența pentru toate x.
Fie x0 - o anumită valoare fixă a argumentului,
x - valoare diferită arbitrară.
Prin formula Lagrange
în cazul în care - un număr între x0 și x. Deoarece:
Există orice funcție f (x) are un primitiv?
Teorema. Dacă funcția f (x) este continua pe un interval, atunci acesta are un primitiv pe ea (fără dovezi).
Definiția. Dacă F (x) - unele primitivă f (x), atunci expresia F (x) + C, unde C - este o constantă arbitrară, se numește integrala nedefinită și este notat cu :. în timp ce f (x) se numește integrantul, iar expresia f (x) dx - integrantul:
Acțiunea de a găsi nedefinită integral, sau de a găsi toate primitivele unei funcții date, numită integrarea acestei funcții. Este clar că diferențierea și integrarea sunt invers.
Adunare și scădere, exponentiation și rădăcină de extracție, înmulțirea și împărțirea sunt date exemple de reciprocei operații matematice.
A făcut una după alta, ei distrug rezultatele reciproc.
2) ln (l a) = a; l ln = a; a> 0
Cu toate acestea, pentru operațiunile de diferențiere și integrare a funcțiilor
Cu toate acestea, există o constantă în ultimele două formule, dar acest fapt pentru multe probleme nu este foarte importantă.
Astfel. găsirea integrala nedefinită trebuie să găsească toate primitivele unei funcții date.