Inele și câmpuri. Structuri matematice. Lecția 82 // MathTutor
Câmp în algebra - un obiect matematic definit în matematică moderne, ca un inel asociativ comutativ. în care orice element nenul are un invers multiplicativ. De asemenea, se crede, că în timp ce 1 ≠ 0 (adică, elementele neutre prin adăugare și multiplicare sunt diferite). Exemple reprezentative de câmpuri: numere reale [matematica] \ mathbb R [/ math]. numere raționale [matematica] \ mathbb Q [/ math]. Conceptul domeniu a fost introdus în secolul XIX, lucrare care vizează rezolvarea problemei găsirii unei formule clasice pentru rezolvarea unei ecuații polinomiale [matematică] n [/ matematica] grad -lea. Câmp este un obiect algebra comutativă de bază. bazat pe conceptul de câmp este construit geometria algebrica.
câmp Manualele algebră este, de obicei, notate cu litere latine K sau F.
[Regula] O definiție detaliată
Field - nontrivial [1] set (structura algebrică) cu operații binare de adăugare și de înmulțire cu + [matematică] \ cdot [/ matematică]. că:
- comutativ [matematica] a + b = b + a [/ matematică]. [Math] a \ cdot b = b \ cdot a [/ matematică];
- asociativ [matematică] (a + b) + c = a + (b + c) [/ math]. [Math] (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) [/ math];
- multiplicare distributively în ceea ce privește adăugarea de [matematică] a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ math];
- orice element [matematică] o [/ matematică] are exact opusul sub plus [matematică] -a [/ matematică]. astfel încât [matematica] a + (-a) = 0 [/ math];
- orice element non-zero [matematică] o [/ matematica] are un multiplicativ [matematică] o „inversă [/ matematică]. astfel încât [matematica] o cdot a \ „= 1 [/ math].
[Regula] Exemple de construcție și
Exemple de domenii: domeniul numerelor raționale [matematică] \ mathbb Q [/ math]. câmp de numere reale [matematica] \ mathbb R [/ math]. câmp finit [matematică] p elemente [/ matematica] [matematica] \ mathbb F_p [/ math] ([matematică] p [/ math] - număr prim), domeniul funcțiilor raționale ale unei variabile [matematică] K (x) [ / math] (unde [matematică] K [/ matematica] - un câmp).
Câmpul poate fi obținut din inelul integral, adică un inel cu multiplicare comutative și asociative, fără zero, divizori (produsul elementelor nenule nu este zero), dacă luăm domeniul sau câtul. adică intră în mod natural și adăugarea de multiplicare pe un set de fracțiuni formale [math] a / b [/ math] ([math] b \ ne 0 [/ math]). Astfel, de exemplu, în inelul de numere întregi [math] \ mathbb Z [/ math] domeniu obținut de numere raționale [matematică] \ mathbb Q [/ matematică].
În cazul în care câmpul dat [matematică] K [/ matematica]. acomodarea domeniul său este închiderea algebrică [matematica] K „[/ math]. obținută prin unirea tuturor rădăcinilor ecuațiilor algebrice cu coeficienți în [matematică] K [/ matematică]. De exemplu, închiderea algebrică a numerelor reale [matematică] \ mathbb R [/ matematica] este un domeniu de numere complexe [matematica] \ mathbb C [/ matematica]. Pentru a dovedi existența închiderii algebrică necesită, în general, utilizarea axiomei de alegere.
Câmp cu metrica impusă poate fi încorporat ca un spațiu metric în finalizarea acestuia (de exemplu, reconstituirea oricărei secvențe fundamentale va avea o limită). Reaprovizionare pot intra în structura câmpului, continuând operațiile de adunare și înmulțire cu continuitate. Astfel, completarea câmpului numerelor raționale [math] \ mathbb Q [/ math] prin metric standard (distanța dintre numerele egal cu modulul diferenței) este un câmp de numere reale [matematica] \ mathbb R [/ matematica]. Finalizarea câmpului numărul rațional al metricii dat de [matematică] p [/ matematica] norma -adic ar câmpul [matematică] p [/ math] -adic [matematica] \ mathbb Q_p [/ matematica]. [2]
În geometria algebrică a intrat în domeniul funcțiilor raționale pe un X varietate algebrică [matematica] [/ matematica]. de exemplu, domeniul funcțiilor raționale pe curba.
Domeniul compus dintr-un număr finit de elemente se numește un câmp finit (câmpul de mai sus-menționat de numere raționale și infinit reale). Un exemplu al unui câmp finit este inelul de resturi modulo [matematică] p [/ matematică]. constând din [matematică] p [/ matematică] elemente [matematică] Z / pZ [/ math] dacă [matematică] p [/ math] - număr prim. Orice câmp finit are [matematică] q = p ^ k [/ math] pentru unele prime [matematică] p [/ matematică] și există exact un pas [matematică] q = p ^ k [/ math] elemente pentru fiecare prim număr [matematică] p [/ matematică] și fiecare număr natural [matematică] k [/ matematică]. Gruparea elementelor nenule în multiplicarea câmpului finit este ciclic. câmpuri finite sunt utilizate în teoria de codificare și criptografie.
[Edit] Istoricul
Conceptul câmp a apărut în secolul al XIX-lea, în lucrarea lui Niels Abel și Galois. pe problema solvabilitatii ecuațiilor de radicali. Această problemă a fost din cauza necesității de a rezolva ecuația [matematică] n [/ matematica] th puterea [math] a_0x ^ n + a_1x ^ +. + A_x + a_n = 0 [/ math] radicali, r. F. Expresiile pentru soluțiile acestei ecuații prin operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și extracția rădăcinilor de diferite grade. Prin secolul XIX au fost găsite expresie pentru soluția de ecuații generale 1, 2, 3, gradul 4-lea, dar nu a fost cunoscut formule pentru soluția ecuațiilor generale de grade mai mari. Teoria lui Galois, care operează cu marje, pentru a clarifica acest aspect. Classical ocupă teoria Galois cu câmpuri finite de extensie algebrice care sunt extensii ale câmpului inițial (de exemplu, domeniul de numere raționale [matematică] \ mathbb Q [/ math]) prin atașarea unui număr finit de rădăcini de ecuații cu coeficienți ai câmpului de bază. Galois juxtapuse, astfel extinse automorfisme grup finit conservarea in situ subfield de bază, și a demonstrat că ecuația de solubilitate prin radicali echivalente cu solubilității extensia algebrică finită a grupului corespunzător, rezolvând astfel problema matematice clasice asupra algebric solubilității radicalilor ecuații polinomiale. De exemplu, în teoria Galois că ecuația generală a cincea grad și radicalii superior insolubile.
„Câmpul“ termen va apărea mai târziu, în secolul al XIX-lea și a pus în opere matematice ale lui Dedekind.
[Edit] Note
- ↑ Ie Se compune din mai mult de un element
- ↑ Orice număr rațional [matematică] r [/ math] poate fi reprezentată ca [matematică] r = p ^ n \ frac ab [/ math] unde [matematică] o [/ matematică] și [matematică] b [/ matematică] numere întregi nu este divizibil cu un număr prim p prestabilit [matematica] [/ matematică]. și [matematică] n [/ matematica] - întreg. Apoi [matematica] | r | _P [/ matematica] - [matematică] p [/ matematica] norma -adic [matematică] r [/ matematica] - definit ca [matematică] p ^ [/ matematica]. Dacă [math] r = 0 [/ math]. apoi [matematică] | r | _P = 0 [/ math].
[Edit] Referințe
- Van der Waerden, BL Modern Algebra. t.t.1-2, M-L: DSTI NKTP 1937.