Definiția. Ne nazyvatrasstoyaniem din punct în planul distanța minimă de la acest punct la punctul m-plan.
pentru că distanța minimă de la punctul de la punctele de orice linie situată pe m-planul este o distanta de la un anumit punct de la baza perpendicularei a scăzut de la ea la linia. Distanța de la punctul de la m-planul este egal cu distanța de la acest punct la baza perpendiculara a scăzut de la l la m-plane.
Găsim distanța de la un punct la un plan definit de ecuația (4). Ecuația perpendicularei dintr-un punct pe planul este de forma (12). Substitutiv (12) în (4). . (13). pentru că distanța de la punctul de la punctul arbitrar este egal cu planul (14). În particular distanța de la începutul până la planul sistemului este (15). Când unitatea vector normală, cu formula (14) poate fi scrisă ca (14 „). și (15). (15 „). În cazul în care unitatea vectorul normal, valoarea absolută a elementului liber (4) este egală cu distanța față de planul.
Aprobarea. Deoarece aceiași vectori de direcție pot fi selectate în planuri paralele. vectorii normali ai planuri paralele coliniare. Distanțele de la toate punctele de una din cele două planuri paralele cu cealaltă dintre aceste planuri sunt egale. Într-adevăr, distanța de la orice punct la un plan care trece prin și paralel cu acest plan (4), cu vectori de direcție. prin (14) este egal. Ie egală cu distanța de la punctul de la același plan.
Definiția. Noi numim numărul, egal cu această distanță, distanța dintre două planuri paralele.
Dacă ecuația două planuri scrise sub forma: (17). distanța dintre ele egală cu distanța de la punctul. situată în al doilea plan la prima. In virtutea (14). această distanță este. ci pentru că se află în al doilea plan, vectorul satisface ecuatia acestui plan, adică . Obținem (18).
23. Aducerea a doua curbă ordinea formei canonice la clasificarea tipurilor de tipuri posibile de eveniment # 948; ≠ 0
Fix sistem de coordonate rectangulare plane și ia în considerare ecuația generală gradul al doilea. (1)
Def: set de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația 1 se numește a doua curbă de ordin. Membrii grupului senior (2) poate fi considerată o formă pătratică în coordonatele (x, y) vectorul x. Deoarece A-matrice este simetrică, # 61476; bază de ortonormală și vectori proprii, în care matricea formei pătratice diagonală și reală. Lăsați matricea P = [pij] - matricea de tranziție de la bază la bază e. Apoi. Apoi, (5). Având în vedere quadratic formularul 5 scriere 2. (6) și (ușor derivat prin înmulțirea P T AP). Prin urmare, în baza formularului trinom poate fi scrisă sub forma. Deoarece P T P = I, R matrice - și geometrically ortogonal tranziția de la bază la baza virajului corespunde un scop în # 966; invers acelor de ceasornic. . În virtutea dreptății 5.6 rescrie ecuația 1 în noile coordonate. (10)
Set (11). atunci # 955; 1 # 955; 2 = detD = det (P T AP) = detP T DETA detP = DETA.
A) Să presupunem că, asta e tot # 955; același semn, atunci locul geometric al punctelor ale căror coordonate îndeplinește condiția 13 reprezintă:
a. Elipsă, în cazul în care semnul este opusă celei # 955;
b. „Imaginar elipsa“, în cazul în care semnul = semn # 955;
c. punct, în cazul în care c = 0
B) Să. și anume # 955; 1 și # 955; 2 caractere diferite. 13 Atunci va
a. ecuația hiperbolă :. dacă c ≠ 0
b. Și o pereche de linii intersectate, în cazul în care c = 0
ecuația 24Privedenie a doua curbă pentru o formă canonică cu clasificarea în cazul unor tipuri posibile # 948 = 0
3) Să. Presupunem că pentru anumite # 955; 1 = 0 și # 955; 2 ≠ 0. Apoi, ecuația 10 este convertit în forma. Ecuația rezultată - ecuația unei parabole. Dacă b1 = 0, ecuația se reduce la următoarea formă :. Această ecuație este:
a. o pereche de linii paralele, în cazul în care un # 955; 2 <0
b. potrivire linii, în cazul în care c = 0
c. "Linii paralele imaginari" în cazul în care c # 955; 2> 0
Curba invarianți de ordinul doi. Determinarea ecuației canonice pentru o curbă de ordinul doi invarianți.
Def: curba invarianți sunt funcții ale coeficienților ecuației curbei care nu se schimbă de la un sistem de coordonate rectangular la altul.
Teorema. Pentru a doua curbă ordine. . Ele sunt invarianți. Dovada este privit 2 cazuri: 1) traducere paralelă (schimbarea variabilelor se face, între paranteze deschise grupate) 2) Rotație folosind R. (prin P reduce la D diagonală = P T AP, apoi invarianții calculat din D)
Curve eliptic
Ecuația de suprafață 28Privedenie Quadric la forma canonică cu tipurile de clasificare în cazul în care două dintre # 955; i sunt zero.
Să. atunci ecuația de suprafață devine: (7). Această pereche de planuri paralele. diferit atunci când # 955; 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ1 C>0.
Dacă a2 ≠ a3 ≠ 0 sau 0, vom face schimbarea, având în vedere :. . Substituind 7 obține. în cazul în care. Aceasta este a doua curbă comandă pe un plan sau un cilindru parabolic.
29Dokazat teorema posibilității de divizare a spațiului X, care operează operatorul liniar ca o sumă directă a rădăcinii subspații: X = (p 1) + (p 2) + ... + (pk)
Teorema 1. Spațiul R poate fi descompus într-o sumă directă de subspatii invariante N0 (p) și M (p). În acest subspațiu N0 (p) este format numai din proprii și asociate lor vectori corespunzători eigenvalue # 955 = 0, iar în subspațiul M (p) transformare reversibil (adică # 955 = 0 nu este o valoare de conversie adecvată A în M subspațiul (p).
Dovada: Pentru a dovedi prima afirmație este suficient să se arate că subspațiul intersecție N0 (p) și M0 (p) este zero. Să presupunem contrariul, adică lăsa există un vector y ≠ 0 astfel încât yÎM (p) și yÎN0 (p). Deoarece yÎM (p). apoi y = A p x.
Mai mult, din moment ce yÎN0 (p). atunci A p y = 0
Cu toate acestea, din ecuațiile (8) și (9) rezultă că există un vector x, pentru care A p x ≠ 0 și în același timp A 2 p x = A p y = 0
Aceasta înseamnă că x este asociat vectorului de transformare A cu eigenvalue # 955 = 0 nu aparține N0 subspațiul (p). ceea ce este imposibil, deoarece N0 (p) este format din toți vectorii.
Astfel, am arătat că intersecția N0 (p) și M0 (p) este zero. Deoarece suma dimensiunilor acestor spații este egal cu n (acest nucleu și imagine de conversie A p), rezultă că R este suma directă a acestor subspații:
Demonstrăm acum a doua declarație a teoremei, adică, în M (p) O conversie subspațiul are nenulă eigenvalue. Într-adevăr, dacă nu ar fi așa, atunci ar exista M (p) un vector x ≠ 0 astfel încât A p x = 0
Dar această egalitate înseamnă că xÎN0 (p). și anume comună este vectorul M (p) și N0 (p). și am demonstrat că un astfel de vector nu poate fi decât zero.
Teorema 2: Fie A transforma spatiul R k are valori proprii distincte # 955; 1, ..., # 955 ;. K. Apoi, R poate fi descompus într-o sumă directă de k subspatii invariante N # 955; 1 (p 1), ..., N # 955; k (pk) .:
Fiecare dintre subspațiile N # 955; i (pi) se compune numai din vectori proprii și vectori asociați corespunzător de valori proprii # 955; i
Cu alte cuvinte, pentru fiecare i există un număr pi. că, pentru toate xÎN # 955; i (pi):