Subspatiul, bază și dimensiunea sa.
Fie L - spatiu liniar peste P și A - subset de L. Dacă A este el însuși un spațiu liniar peste P în raport cu aceeași operație ca și cea a L. Un spațiu numit subspațiul L.
Conform definiției unui spațiu liniar la un subspatiu A fost necesară pentru a testa fezabilitatea operațiilor din A:
și verifică dacă operațiunile în A sunt supuse cele opt axiome. Cu toate acestea, aceasta din urmă ar fi redundant (datorită faptului că aceste axiome sunt îndeplinite în L) și anume avem următoarele
Teorema. Fie L un spațiu liniar peste câmpul P și. Un set dacă și numai dacă un subspațiu L. atunci când următoarele cerințe:
Aprobarea. Dacă L-n -dimensional spațiu vectorial A și subspațiul său, apoi un spațiu liniar și dimensional, iar dimensiunea sa nu depaseasca n.
EXEMPLUL 1. Vectori subspațiali V2 o multitudine de segmente S ale planului vectorilor, fiecare dintre care se află pe una dintre axele de coordonate 0X și 0Y?
Decizie. Să, și. Apoi. Prin urmare. S nu este subspațiu.
Exemplul 2: Este un subspatiu liniar al segmentelor liniare V2 spațiale plane vectori set S tuturor vectorilor avionului, începuturile și capetele cărora se află pe o linie dat l avionul ăla?
E Dacă vectorul este înmulțit cu un număr real k. atunci obținem vectorul S. Dacă, de asemenea, proprietatea și - doi vectori de S, apoi (conform adăugării vectorului regulă pe linie). Prin urmare, S este un subspațiu.
Exemplul 3: Este un subspatiu liniar al V2 spațiu vectorial O pluralitate de vector plane, capetele cărora se află pe o linie dată l. (Să presupunem că începutul oricărui vector este originea)?
În cazul în care am linie nu trece prin origine stabilit un subspatiu liniar al V2 nu este. deoarece .
În cazul în care se execută direct l prin origine, mulțimea A este un subspatiu liniar al V2 spațiu, așa cum și prin înmulțirea fiecărui vector cu un număr α real al câmpului F obținem. Prin urmare, sunt îndeplinite cerințele de spațiu liniar pentru o multitudine de A.
Exemplul 4. Având în vedere un sistem vectorial al spațiului L liniar deasupra câmpului P. Dovedește. mulțimea tuturor combinațiilor liniare de coeficienți P este un subspatiu L (A subspațiul se numește subspațiu calibrat prin sistemul liniar de vectori sau sisteme vectoriale și obolochkoyetoy denota după cum urmează :. sau).
Decizie. Într-adevăr, din moment ce, pentru orice elemente x, YA avem, în cazul în care. atunci
Noi verifica fezabilitatea a doua condiție a teoremei. Dacă x - orice vector A și t - orice număr de P. atunci. Deoarece și apoi, așa. Astfel, în conformitate cu teorema. o pluralitate de A - L. subspatiu liniar al spațiului
Pentru spații liniare finit dimensionale Reciproca este, de asemenea, adevărat.
Teorema. Orice subspatiu Un spațiu liniar L este liniar peste un câmp de un anumit sistem de vectori manta.
În rezolvarea problemei găsirii învelișului de bază și dimensiunea liniară folosind teorema următoare.
Teorema. Baza deschidere liniară coincide cu vectorii de bază ai sistemului. Dimensiunea cocii liniare coincide cu sistemul vectorial de rang.
Exemplul 4. Găsirea și bază P3 liniare subspații dimensiune [x]. Dacă ,,,.
Decizie. Este cunoscut. vectori și coordoneze rândurile lor (coloane) au aceleași proprietăți (în raport cu dependența liniară). Noi formează matricea de coordonate vectorilor A = coloană în baza.
Am găsit rangul matricei A.
În consecință, r rang (A) = 3. Astfel, rangul sistem vector este 3. Prin urmare, dimensiunea subspatiul S este egal cu 3, și constă din trei vectori de bază (ca bază minoră include doar coordonatele acestor vectori).
Exemplul 5 Pentru a dovedi că setul de vectori de H spațiu aritmetic în care primele și ultimele coordonate sunt 0, este un subspatiu liniar. Găsiți bază și dimensiunea sa.
Apoi, și. Prin urmare, pentru orice. În cazul în care, atunci. Astfel, în conformitate cu teorema subspatiu liniar, mulțimea H este un subspatiu liniar. Găsim baza H. Luați în considerare următorii vectori de H. ,,. Acest sistem este liniar vectori independenți. Într-adevăr, să.
Puteți asigurați-vă că sistemul este dependent liniar pentru orice vector x H. Acest lucru dovedește că un maxim liniar sistem independent de vectori care subspațiu H. - H și o bază dimH = n2.