Să începem cu câteva definiții. Polinom de gradul n-lea (sau n-th-order) va fi numită o expresie de forma $ P_n (x) = \ sum \ limits_ ^ a_x ^ = a_x ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n $. De exemplu, expresia $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ este un polinom al cărui grad este $ 14 $. Acesta poate fi descrisă după cum urmează: $ P_ (x) = 4x ^ + 87x ^ 2 +-4x 11 $.
Raportul dintre două polinoame $ \ $ Frac este numit o funcție rațională sau o fracțiune rațională. Mai precis, aceasta este o funcție rațională a unei variabile (de exemplu, variabila $ x $).fractie rațională se numește corectă. în cazul în care $ n Indicați care dintre enumerate mai jos sunt fracții raționale. În cazul în care fracția este o rațională, apoi determina corect sau nu. 1) Această fracțiune nu este rațional, deoarece conține $ \ sin x $. Funcția rațională nu permite acest lucru. 2) Avem un raport de două polinoame: $ 5x ^ 2 + 3x- $ 8 și 9 $ ^ 11x + 25x ^ 2-4 $. Prin urmare, prin definiție, o expresie a $ \ frac $ este o fracție rațională. Deoarece gradul de polinomului în numărătorul este egal cu $ 2 $, iar gradul de polinomului la numitor este $ 9 $, această fracțiune este corectă (pentru $ 2 <9$). 3) La numărătorul și numitorul fracției situate polinoamele (factorizare). Nu contează în ce formă polinoame prezentate de numărătorul și numitorul: au răspândit în factori sau nu. Din moment ce avem un raport de două polinoame, apoi prin definiție expresia $ \ frac (15x ^ +-9x 1)> $ este o fracție rațională. Pentru a răspunde la întrebarea dacă aceasta este o fracțiune corespunzătoare, aceasta ar trebui să determine gradul de polinomului în numărătorul și numitorul. Pentru a începe cu numărătorul, adică cu $ expresie (2x ^ 3 + 8x + 4) (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 145) = 9 (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) $. Pentru a determina gradul de acest lucru poate polinomiale, desigur, pentru a deschide paranteze. Cu toate acestea, rezonabil de a face mult mai ușor, pentru că suntem interesați numai în cel mai înalt grad de variabila $ x $. Am ales de la fiecare categorie de variabila $ x $ în cea mai mare măsură. De $ paranteze (2x ^ 3 + 8x + 4) ia $ $ x ^ 3 $, parantezelor $ (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 9) = 9 $ ia $ (x ^ 4) = 9 = x ^ = x ^ $, $ și de console (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) alege $ $ x ^ 7 $. Apoi, cel mai mare grad după extinderea variabila $ x $ va fi: Gradul de polinomului, care se află în numărătorul este de $ 46 $. Revenind acum la numitor, adică, de $ expresie (5x + 4) (3x ^ 2 + 9) ^ (15x ^ + 9x-1) $. Gradul acestui polinom este definit ca fiind la fel ca numărătorul, adică Numitorul este un polinom de gradul 41-lea. Deoarece gradul de numărătorului (adică, 46) nu este mai mică decât gradul de polinomului la numitor (adică, 41), rațional fracția $ \ Frac (15x ^ +-9x 1)> $ este incorectă. 4) numărătorul fracției $ \ frac $ este numărul $ 3 $, adică, polinom de grad zero. Formal, numărătorul poate fi scris ca: $ 3x ^ 0 = 3 \ cdot1 = 3 $. În numitorul avem un polinom al cărui grad este egal cu $ 6 \ cdot 4 = $ deschisă 24. Raportul dintre două polinoame este o fracție rațională. Deoarece $ cu 0 <24$, то данная дробь является правильной. Răspuns. 1) nu este o fracție rațională; 2) o fracție rațională (corectă); 3) fracție rațională (incorectă); 4) o fracție rațională (dreapta). Ne întoarcem acum la conceptul de fracții elementare (acestea sunt denumite și fracții pur și simplu ca raționale). Există patru tipuri de funcții raționale elementare: Comentarii (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): spectacol \ ascunde De ce avem nevoie de condiție $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует. De exemplu, pentru expresia $ x ^ 2 + 5x + $ 10 se obțin: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot $ 10 = -15. Deoarece $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители. De altfel, pentru acest test nu este necesar ca coeficientul de $ x ^ 2 $ egal cu 1. De exemplu, pentru un $ 5x ^ 2 +-7x 3 = 0 obținem $: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = $ 109. Deoarece $ D> 0 $, atunci expresia $ 5x ^ 2 +-7x 3 $ este descompusă în factori. Provocarea este: dată fracțiunea rațională corespunzătoare exprimată ca o sumă de fracții raționale elementare. Soluția de rezolvare a acestei probleme și este dedicat materialul prezentat pe această pagină. Mai întâi trebuie să vă asigurați că următoarea condiție: polinom în numitorul fracției raționale corespunzătoare luate în așa fel încât semnificat de expansiune conține un suport de forma $ (xa) ^ n $ sau $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $ ($ p ^ 2-4q <0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему: Dacă fracțiune necorespunzătoare, înainte de a aplica schema de mai sus să fie ea împărțită în suma părții întregi (polinomial) și fracția rațională corespunzătoare. Cum anume se face acest lucru, vom înțelege mai târziu (a se vedea. Exemplul №2 alin 3). Câteva cuvinte despre literele în numărătorii (adică, $ A $, $ A_1 $, $ C_2 $ și altele). Literele pot fi folosite orice - pentru gustul tau. Ceea ce este important este faptul că aceste scrisori au fost diferite în toate fracțiunile elementare. Pentru a găsi valoarea acestor parametri se utilizează metoda coeficienților nedeterminați sau a valorilor metoda de substituție parțială (vezi. Exemplele №3, №4 și №5). Descompune fracție rațională predeterminată în elementar (fără a găsi parametrii): 1) Avem fracție rațională. Numărătorul acestei fracțiuni este un polinom de gradul 4, iar polinomul numitorul grad egal cu $ 17 $ (cum pentru a determina gradul de detaliere explicat la punctul №3 exemplul №1). Deoarece gradul de polinomului numărătorul grad mai mic decât la numitor, această fracțiune este corectă. Referindu-ne la namenatelyu această fracțiune. Pentru a începe cu brackets $ (x-5) $ și $ (x + 2) ^ $ 4, în care sunt complet acoperite de forma $ (x-a) ^ n $. În plus, există mai multe și paranteze $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ și $ (x ^ 2 + 11) = $ 5. Expression $ (x ^ 2 + 3x + 10) are forma $ $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, unde $ p = 3 $; $ Q = 10 $, $ n = 1 $. Deoarece $ p ^ 2-4q = 9-40 = -31 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q <0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила (1)-(4). изложенные выше. Согласно правилу (1) скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac$. Это можно записать так: Conform regulii (2) bracket $ (x + 2) ^ 4 $ se va potrivi cu suma celor patru fracții $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Voi adăuga această sumă la degradarea existentă: Conform regulii (3) bracket $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ va corespunde unei fracții $ \ frac $. Completați această fracție pentru a se descompune: Și, în sfârșit, conform regulii (4) $ bracket (x ^ 2 + 11) = $ 5 va corespunde sumei celor cinci fracții $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Voi adăuga această sumă la decăderea existentă și problema va fi rezolvată, pentru toate parantezele numitorul au fost epuizate: 2) Avem o fracție rațională. Gradul de numărătorului (adică, 2) mai mic decât gradul de polinomului la numitor (adică, 9), astfel încât această fracțiune - este corectă. Referindu-se la numitor. Suport $ (x-2) ^ 3 $ cade sub tip $ (x-a) ^ n $, deci merge mai departe. Suport $ (x ^ 3-8) $ nu intră sub formă de $ (x-a) ^ n $ sau sub formă de $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $. Acest lucru sugerează că suport $ (x ^ 3-8) $ trebuie să fie luate. Aceste lucruri ușor de făcut, dacă ne amintim formula cuburi diferență: Suport $ (x-2) intră în vizualizare $ $ (x-a) ^ n $. Suport $ (x ^ 2 + 2x + 4) are forma $ $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, unde $ p = 2 $, $ q = 4 $, $ n = 1 $. În acest caz, $ p ^ 2-4q = 4-16 = -12 <0$, посему дальнейшее разложение невозможно. Итак, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, поэтому знаменатель станет таким: Hai. Următoarea categorie de linie în - acest $ (3x + 5) $. Această consolă ar cădea sub formă de $ (x-a) ^ n $, dacă nu raportul $ 3 $ $ x $. A decis că trei dintre consola: $ (3x + 5) = 3 \ cdot \ stânga (x + \ frac \ dreapta) $. Numitorul este acum transformat după cum urmează: Acum este timpul pentru $ paranteze (3x ^ 2-x-10) $. Ea ar fi căzut sub formă de $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, dacă nu pentru factorul "extra" $ 3 $ la $ x ^ 2 $. În plus, consola de fixare $ (3x ^ 2-x-10) $ descompusă în factori, ceea ce este ușor de văzut, decide ecuația pătratică corespunzătoare: Deoarece $ 3x ^ 2-x-10 = 3 \ cdot \ stânga (x + \ frac \ dreapta) (x-2) $, atunci numitorul va fi: $$ 3 \ cdot (x-2) = 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ stânga (x + \ frac \ dreapta) (3x ^ 2x-10) = 9 \\ = \ cdot (x-2 ) = 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ stânga (x + \ frac \ dreapta) \ stânga (x + \ frac \ dreapta) (x-2) = 9 \ cdot (x-2) 5 (x ^ 2 + 2x + 4) \ stânga (x + \ frac \ dreapta) ^ 2 $$ Și acum împușcat de start va in sine este aceasta: Acum puteți merge direct la fracțiile de bază. Acționând în același mod ca în etapa №1 a acestui exemplu, avem: 3) Avem fracție rațională. gradul Mogochlena numărătorului (adică 5) nu este mai mic decât gradul de polinomului în znmenatele (adică, 3), prin urmare, această fracțiune este incorectă. Prin urmare, înainte de această fracție rațională se descompun în elementar, se va aloca partea întreagă (polinomial). Pentru a face acest lucru, vom împărți un polinom, situat în numărătorul, numitorul unui polinom. Folosind metoda de divizare „suprafață“.
Acest rezultat poate fi scris după cum urmează:
Fraction $ \ frac $ este o fracțiune rațională adecvată, pentru gradul de numărătorului (adică, 2) mai mic decât gradul de polinomului la numitorul (3 adică). Revenind acum la numitorul fracției. Numitorul este un polinom care trebuie luate. Uneori, schema de factoring util Horner. dar, în acest caz, este mai ușor de a face standard „școală“, prin gruparea termeni:
Aplicând aceleași metode ca și în paragrafele anterioare, obținem:
Deci, în cele din urmă, avem:
Continuarea acestei teme vor fi discutate în a doua parte.