număr real # 955; iar vectorul z sunt numite o pereche Eigen de matrice A, în cazul în care îndeplinesc următoarele condiții: Az = # 955; z. Mai mult, pentru o matrice reală O problemă de căutare pot fi furnizate numai valori proprii, sau ambele valori proprii și vectori.
Dacă o matrice reală O dimensiune NxN este simetrică, are N eigenvalori (nu neapărat diferite) și N vectori proprii corespunzătoare care formează o bază ortonormală de vectori proprii (în general, vectorii proprii nu sunt ortogonale, și nu poate fi mai mică N).
Cayley-Hamilton Teorema: Orice matrice pătratică satisface ecuația caracteristică.
Verificarea directă justifică această afirmație pentru matricea de ordinul 2:
Apoi: c (A) = A2 - (a11 + a22) A + (a11a22 - a12a21) E =
Tema 4. Sisteme de ecuații liniare
Sisteme de ecuații liniare, tipurile lor.
operații liniare peste orice obiecte numite plus și multiplicarea lor de către un număr.
combinație liniară a variabilelor este rezultatul aplicării lor operațiilor liniare, adică în cazul în care numărul de variabile.
O ecuație liniară este o ecuație de forma (2.1), unde b - numărul - necunoscut.
Astfel, partea stângă a ecuației liniare este o combinație liniară de necunoscut, și dreapta - numărul.
ecuație liniară se numește omogen. în cazul în care b = 0. În caz contrar, ecuația se numește neuniforma.
Sistem de ecuații liniare (sistem liniar) este un sistem de forma: (2.2)
în cazul în care. - numărul - necunoscut, n - numărul de necunoscute, m - numărul de ecuații.
Solutia sistemului liniar (2.2) este un set de numere care, atunci când înlocuiește necunoscutele sistem plăti în fiecare ecuație adevărata egalitate.
Cramer: regula lui Cramer este o formulă pentru găsirea soluției unui sistem de n ecuații în n necunoscute și determinant decât 0.
Această metodă se aplică, de asemenea, numai pentru sisteme de ecuații liniare, în cazul în care numărul de variabile egal cu numărul de ecuații. În plus, este necesar să se impună restricții asupra coeficienților. Este necesar ca toate ecuațiile sunt liniar independente, adică, nici unul din ecuație nu ar fi o combinație liniară a celorlalte.
Acest lucru impune ca determinantul sistemului matricei nu este egal cu 0. det A ¹ 0;
Într-adevăr, în cazul în care o ecuație particulară a sistemului este o combinație liniară a celorlalte, în cazul în care elementele unei linii pentru a adăuga alte elemente, înmulțit cu orice număr, cu ajutorul unor transformări liniare se poate obține un șir nul. Determinantul în acest caz, va fi zero.
Teorema (regula lui Cramer) .Sistema de n ecuații cu n necunoscute
dacă determinantul sistemului cu matrice este nenulă, are o soluție unică și această soluție este găsită de formulele: xi = Di / D, unde D = det A și Di - determinantul unei matrice obținută dintr-un bi înlocuitor sistem matrice coloana i coloană membrii liberi .
Locul Matrix - este ordinea maximă a unui minor nenul.
matrici minore de ordin s este determinantul matricei formate din elementele matricei originale situate la intersecția oricăror linii s selectate și s coloane. Matricea de ordine r m'n ordine Minor numit baza. dacă nu este zero, iar toți minorii comanda r + 1 și mai sus sunt zero, sau nu există deloc, adică, r coincide cu cea mai mică dintre numerele m și n. Coloanele și rândurile matricei, pe care există o bază în C minor, de asemenea, numit de bază. Matricea poate fi mai mulți minori de bază diferite care au aceeași ordine.
Definiția. Ordinea de bază matrice minorului se numește rangul matricei și este notată cu A. Rg
O caracteristică foarte importantă a matricei elementare este că ei nu se schimba rangul unei matrice.
Definiția. Matricile obținute prin transformare elementară numită echivalent.
Trebuie remarcat faptul matrice chtoravnye și matrice echivalente - conceptul cu totul diferit.
Teorema.Naibolshee numărul de coloane liniar independente în matrice este egal cu numărul de rânduri liniar independente.
pentru că transformări elementare nu se schimba rangul matricei, este posibil să se simplifice procesul de a găsi rangul de matrice.
Exemplu. Se determină gradul de o matrice.
Dacă se utilizează transformări elementare nu pot găsi o matrice echivalentă cu originalul, dar mai mic rang de constatare matrice ar trebui să înceapă prin calcularea minorii de cel mai înalt nivel posibil. In exemplul de mai sus - este minorii de ordinul 3. Dacă cel puțin una dintre ele nu este zero, atunci rangul matricei este egală cu ordinul minorului.