Teorema 2 (a doua regulă).
Dacă pentru funcțiile diferențiabilă f (x) într-un punct x0 primul său derivat f '(x) este zero, în timp ce al doilea derivat f' '(x) există și nu este zero, adică. E. F' (x0) = 0, f '' (x0) ≠ 0, atunci în acest moment funcția f (x) are un extremum;
Dacă f '' (x0)> 0, atunci f (x0) - minimum funcției f (x), și
Dacă f „“ (X0) // (X0) ≠ 0, ceea ce înseamnă că, după o anumită perioadă de timp, această valoare este un semn al limita în acest caz, plus. Prin urmare:
dovedesc că în mod similar, dacă f / (x0) = 0 și f // (x0) 2
A: Funcția este în creștere pe
Funcția este în scădere pe
§7.Nahozhdenie mai mici și cele mai mari valori ale funcției, la un interval predeterminat.
Determinarea celei mai mici și cele mai mari valori funcției diferențiabile la un interval predeterminat [a, b] se recomandă după cum urmează:
1) Găsiți derivatul acestei funcții;
2) Determinarea punctelor critice ale funcției;
3) Din toate punctele critice pentru a selecta cele care se află într-un interval predeterminat;
4) Prescrierea valori ale acestei funcții în punctele critice selectate;
5) Prescrierea valori ale acestei funcții, la capete a și b o lungime predeterminată;
6) Dintre toate valorile calculate ale funcțiilor menționate pentru a determina cele mai mici și cele mai mari numere. Acestea sunt soluții ale problemei.
Exemplu. Găsiți valorile minime și maxime ale funcției:
f „(x) = - cos x +2 sinxcosx = cos x (2 păcat x-)
diferența: a);
Noi găsim punctele critice ale funcției. pentru că y „(x) = -6x -6x = -6x (x + 1), există două puncte critice: x = 0 și x = -1.
a) In intervalul este unul dintre punctele critice: x = -1.
deoarece y (-2) = 8, y (-1) = 4, y (-0,5) = 3,5, atunci cea mai mică valoare a funcției
y (x) = - 2x -3x 4 atins la x = -1 și este egal cu 3, iar cele mai multe
la punctul x = -2 și este 8. Pe scurt poate fi scrisă ca:
b) Între timp, această funcție scade. Prin urmare, y max (x) = y (1) = - 1. Cea mai mică valoare din funcția de interval nu este atins, deoarece punctul x = 3 nu aparține acestui interval.
Laturile de segment întâlnesc la un unghi drept cuprinde un punct în interior, de la distanță, la 1 și 8 din laturile unghiului.
Găsiți lungimea cea mai scurtă a acestor segmente.
Adresarea: 1) Fie X = OA, OB = y
Bazat pe faptul că
deoarece ABO dreptunghiular, atunci
Noi găsim cea mai mică valoare a funcției x => 1
2) Pentru a găsi acest derivat
3. Găsim punctele critice:
deoarece x = 5, derivatul schimba semnul de „-“ la „+“, este cea mai mică valoare.
Din cercul de rază R se taie din sectorul Gaza și con țesute. Care este cea mai mare cantitate de pâlnie conică rezultată?
Unghiul central pust- al sectorului
bază con r-rază
Răspuns: Cel mai mare volum este.
O bucată dreptunghiulară de teren adiacent la peretele clădirii fabricii, este necesară pentru a proteja gard. O parte a gardului paralel cu peretele, să fie o piatră, iar restul de lemn. Dimensiunile terenului 90cm. Costul de 1m zid de piatra 10rub și 8rub din lemn. Găsiți astfel de dimensiuni ale parcelei, la costul întregului gard a fost cel mai mic?
Abordarea: 1) Să ogradyfrub de cost.
x (m) - lungimea unei porțiuni de piatră gard, atunci lățimea - 90 / x (m)
4) Să ne determine punctele critice:
X = 12, modificările derivate semn de la - la +. Aceasta înseamnă că cea mai mică valoare a funcției, și este unic în domeniu.
Lungimea minimă a peretelui de stâncă de 12 m. Și din lemn 90/12 = 7,5 m
Răspuns: 12m; 7.5m; 240 ruble.
Dintre toate triunghiul isoscel înscris în cerc, găsiți cel care are cea mai mare suprafață.