Definiție 1. nevida set R este numit un inel dacă două operații algebrice definite în acestea: plus, atribuind fiecărei perechi de elemente de. elementul b a + b. numita sumă și multiplicarea acestora, asocierea cu fiecare două elemente de. Element b ab. Se face referire la produsul lor, iar aceste operațiuni au următoarele proprietăți:
I. (comutativitatea de adăugare) a + b = b + a;
III. (Reversibilitatea plus) Pentru toate a și b din ecuația R = x a + b are (cel puțin unul) soluție, adică, există un element astfel încât a + c = b ..;
IV. (Multiplicare comutativitatea) ab = ba;
Termenul „inel“ se aplică și la seturile cu o multiplicare non-comutativă sau non-asociativă. Formularea altor proprietăți, de asemenea, schimba.
V. (asociativitatea multiplicării) a (bc) = (ab) c;
VI. (Înmulțirea distributivitatea peste plus) (a + b) c = ac + bc.
Inele cu titlu de exemplu. În cadrul operațiunilor normale de adunare și înmulțire este un inel:
1. Setul de numere întregi.
2. Setul de numere raționale.
3. Setul de numere reale.
4. Setul de numere raționale.