Definiția 9.3. Vectorul x se numește un vector propriu al matricei A. Dacă există un număr # 955;, că egalitatea: Ax = # 955; x, adică rezultatul aplicării transformării liniare la x, dată de matricea A. Aceasta este multiplicarea numărului de vector # 955;. numărul mare # 955; nazyvaetsyasobstvennym a matricei A.
Substituind formula (9.3) x`j = # 955; xj, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului:
Acest sistem omogen liniar are o soluție nontrivial numai în cazul în care principalul său determinant este egal cu 0 (regula lui Cramer). Scrierea această condiție în forma:
o ecuație pentru determinarea valorilor proprii # 955;. numită ecuația caracteristică. Pe scurt poate fi reprezentat după cum urmează:
pentru că partea stîngă este determinantul matricei A # 955; E. Polinom în # 955; | A - # 955; E | Se numește polinomul caracteristic al matricei A.
Proprietățile polinomul caracteristic:
1) Polinomul caracteristic unei transformări liniare nu depinde de alegerea temei. Dovada. (Cm. (9.4)), dar, în consecință. Astfel, indiferent de alegerea temei. Prin urmare, | A- # 955; E | Acesta nu este schimbat în timpul tranziției la o nouă bază.
2) Dacă o matrice de transformare A lineară este o simetrică (adică Aij = aji), toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) - sunt numere reale.
Proprietățile vectori și valori proprii:
1) Dacă alegeți o bază de vectori proprii x1. x2. x3. care corespunde valorilor proprii # 955; 1. # 955; 2. # 955; 3 matrice A în această bază o matrice de transformare liniară este diagonală de forma:
(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.
2) Dacă autovalorile transformare A sunt diferite, vectorii proprii corespunzătoare sunt liniar independente.
3) În cazul polinomul caracteristic al matricei A are trei rădăcini diferite, într-o anumită matrice bază A este diagonală.
Ne găsim valorile proprii și vectorii proprii ale matricei formează ecuația caracteristică: (1- # 955; ) (5 - # 955; ) (1 - # 955; ) + 6 - 9 alineatul (5 - # 955; ) - (1 - # 955; ) - (1 - # 955; ) = 0 # 955; ³ - 7 # 955; ² + 36 = 0, # 955; 1 = -2 955 # 2 = 3, # 955; 3 = 6.
Noi găsim coordonatele vectorilor proprii corespunzătoare fiecărei valori găsite # 955;. Din (9.5) rezultă că dacă x (1) = x1, x2, x3> - eigenvector corespunzătoare # 955; 1 = 2, atunci
Substituind în (9,5) 955 # 2 = 3, obținem un sistem de determinare a coordonatelor doua eigenvector - x (2) = y1, y2, y3>:
Formele pătratice și relația lor cu matrici simetrice. Proprietățile și vectorii proprii autovalorile o matrice simetrică. Reducerea formelor patratice la forma canonică.
10.1.Kvadratichnoy formă Determinarea variabilelor reale x1. x2, ..., xn este un polinom de gradul al doilea în ceea ce privește aceste variabile, care nu conține un membru gratuit și membru al primului grad.
Exemple de forme pătratice:
Să ne amintim în această ultimă prelegere matrice simetrică definită:
Definiție 10.2. O matrice pătrată se numește simetrică. în cazul în care. adică, în cazul în care elementele matricei sunt simetrice în raport cu diagonala principală.
Proprietățile vectori și valori proprii ale unei matrice simetrice:
1) Toate valorile proprii ale matricei simetrice reale.
Dovada (pentru n = 2).
Să presupunem că matricea A are forma :. Formăm ecuația caracteristică:
(10.2) Să ne găsim discriminante:
prin urmare, ecuația are numai rădăcini reale.
2) vectorii proprii ale matricei simetrice sunt ortogonale.
Dovada (pentru n = 2).
Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile:
În consecință, ele pot fi stabilite după cum urmează:
. Produsul scalar al acestor vectori este după cum urmează:
Prin teorema Vieta a ecuației (10.2), constatăm că Substituind aceste relații în ecuația anterioară: So.
Notă. În exemplul discutat în capitolul 9, vectorii proprii ale unei matrice simetrică au fost găsite și aduse în atenția asupra faptului că acestea au fost reciproc ortogonale.
Determinarea 10.3.Matritsey formă pătratică (10.1) este o matrice simetrică. (10.3)
Astfel, toate valorile proprii ale matricei de forma pătratică este valabilă, și toate sunt ortogonale vectori proprii. În cazul în care toate valorile proprii sunt distincte, cele trei vectorii proprii normalizate (10.3) se poate construi o bază în spațiul tridimensional. În această bază forma pătratică va avea un tip special, care nu conține produse de variabile.