Caracteristica esențială a conceptului este valoarea absolută - modul. „Modulul“ Cuvântul este derivat din cuvântul latin „modul“. ceea ce înseamnă „măsură“. Este un cuvânt care are mai multe sensuri, este folosit nu numai în matematică, dar, de asemenea, în fizică, arhitectură, inginerie, programare și alte științe exacte.
În ciuda simplității aparente a definiției modulului, rezolvarea ecuații și inegalități care conțin necunoscute sub semnul modulului, provoacă unele dificultăți. Aparent, ele sunt în legătură cu faptul că soluția problemelor de acest gen implică abilități de cercetare de bază, gândirea logică, constând în încercarea de opțiuni diferite, la fel ca în marea majoritate a sarcinilor una ecuații sau inegalități cu echivalent modul de a agregatului sau sistemul de ecuații multiple și a inegalităților, eliberat de marca modul.
În acest capitol, vom organiza informațiile despre modul și au discutat unele metode de rezolvare ecuații și inegalități cu modulul.
Numerele modul numit o distanta de la origine la punctul care reprezintă numărul de pe axa reală.
Numărul modul este notat.
Cu alte cuvinte, distanța medie geometrică pe linia de numărul de la origine la punctul care reprezintă numărul.
În cazul în care. apoi pe axa reală și există două puncte. echidistant față de sol în sus, care sunt module.
În cazul în care. pe axa reală a punctului reprezentativ.
Exemplu. Rezolvăm ecuația:
Decizie. În conformitate cu interpretarea geometrică a modulului ecuației descrie setul de puncte distanță de la origine la o distanță de 3. Acesta este punctul
Exemplu. Rezolvăm ecuația:
Decizie. Conform modulului de interpretare geometrică, distanța nu poate fi negativă. Prin urmare, această ecuație nu are nici o soluție.
Răspuns. Nu există soluții.
Termenul "modulul" a intrat matematicianului englez R. Cotes (1682 - 1716), modulul de conectare matematicianul german Karl Weierstrass (1815-1897) în 1841
Uneori, în loc de termenul „modul“ se utilizează termenul de „valoare absolută“ sau „valoare absolută“ a numărului.
Să ne dea o definiție modul algebrică.
Definiția. Numărul modulului sau valoarea absolută este egal cu numărul. dacă este mai mare sau egal cu zero și este egală cu. dacă este mai mică decât zero:
Exemplu. În conformitate cu definiția de mai sus. .
Din definiția modulului, rezultă că pentru orice număr real. .
Exemplu. Rezolvăm ecuația:
Decizie. Conform definiției algebrică a modulului, avem.
Exemplu. Rezolvăm ecuația:
Decizie. Conform definiției algebrică a modulului, avem. Prin urmare, această ecuație nu are nici o soluție.
Răspuns. Nu există soluții.
Teorema 6. Valoarea absolută a unui număr real egal cu cea mai mare dintre cele două numere OR.
Dovada. Dacă numărul este pozitiv, numărul este negativ, adică. Prin urmare, prin tranzitivitate a relației „mai puțin“, rezultă că. În acest caz. adică, la fel ca și cea mai mare dintre cele două numere AND.
Dacă numărul este negativ, atunci numărul de pozitive și. adică, un număr mare este. Prin definiție, în acest caz - din nou egală cu cea mai mare dintre cele două numere și. Acest lucru dovedește teorema.
Corolar. Pentru orice număr real este valid :.
Dovada. De fapt, ambele. și egal cu cel mai mare dintre numerele și. în consecință. sunt egale.
Corolar. Pentru orice număr real de inegalități. .
Dovada. Inmultiti a doua ecuație de. schimbarea semnului de inegalitate este inversată, obținem următoarea inegalitate. valabilă pentru orice număr real. Combinând ultimele două inegalități într-unul, vom obține :.
Numărul de modul poate fi, de asemenea, definit ca fiind cea mai mare dintre numerele a și -a.
Teorema 7. Valoarea absolută a unui număr real egal cu rădăcina pătrată a mediei aritmetice. adică.
Dovada. De fapt, în cazul în care. apoi, prin definiție a modulului, avem.
Pe de altă parte, atunci când. . Prin urmare.
În cazul în care. apoi, în acest caz.
Teorema 7 permite rezolvarea unor probleme care urmează să fie înlocuite.
Pentru orice numere reale avem următoarele proprietăți:
.
; ; ;
;