Formula de bază care determină viteza de fază undelor (monocromatice) în spațiul unidimensional sau viteza de fază a lungul vectorului de undă a undei în spațiul de dimensiuni mai mari:
care este o consecință directă a faptului că faza a unui val plan într-un mediu omogen are
p = ωt - kx-dimensional caz
sau o dimensiune mai mare decât unul.
Relația particular între k ω și - așa-numita relație de dispersie pentru fiecare tip particular de unde sunt obținute în general din ecuația diferențială care descrie acest tip de valuri, înlocuind-o în monocromatica (plane de obicei) val
În cazul în care viteza de fază este independentă de tipul de valuri pe (vector și direcții de undă) frecvența sau numărul de undă, atunci viteza de grup coincide cu ea.
val de pachete și viteza de grup
val monocromatic - un idealizare matematic. Astfel de valuri în natură. Orice val poate fi reprezentat ca o superpoziție a undelor monocromatice, cu amplitudini diferite și frecvențele ω în intervalul Δω. Suprapunerea undelor diferă una de cealaltă în frecvență (Δω <<ω), называют волновым пакетом или группой волн. В пределах пакета монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета гасят друг друга.
In vid toate undele monocromatice se propagă cu o viteză de fază identică
Cu aceeași viteză în vid și se extinde în sine val de pachete, fără a schimba forma.
Într-un val de pachete dispersive tartinabile medii, ca componentele sale viteza monocromatice diferă una de cealaltă.
Să varianța este suficient de mică, răspândirea val de pachete nu este prea rapid. Am atribui pachetul de undă u viteza cu care a mutat „centrul de greutate“, a pachetului. Apoi u - este viteza de grup. atunci
Figura a) arată dispunerea relativă a celor două valuri de amplitudine egală și frecvențe ușor diferite una față de alta. Fig. b) rezultatul superpoziției. Vom fi interesați de viteza cu care scaunul este deplasat cu
este amplitudinea maximă și viteza unui val de pachete este - viteza de grup.
Lăsați ecuația undelor monocromatice au forma:
E 1 cos = A (ωt - kx);
E 2 = A cos [(w + dω) t - (k + dk) x)]
formate de undă compusă Ca urmare a aplicării lor:
E = E 1 + E 2 = cos 2A ((tdω - XDK) / 2) cos (ωt - kx)
Această expresie poate fi privită ca ecuația de undă mono-cromatice ale căror amplitudine variază conform legii:
A 0 = | cos 2A ((tdω - XDK) / 2) |
Rezultă că punctele corespunzătoare, de exemplu, amplitudinea maximă a muta de lege:
Acolo unde x = (dω / dk) t. Valoarea din paranteze este grupa SKO-Height.
Expresia pentru viteza de grup poate fi reprezentat într-o formă diferită.
u = d / dk (υk) = υ + kdυ / dk
Deoarece k = 2π / λ și dk = - (2π / λ 2) dλ, apoi rescrie expresia de mai sus, după cum urmează:
Aceasta este formula Rayleigh.
În dispersia normală (dυ / dλ> 0), viteza de grup u este mai mică decât viteza de υ fază. In absenta dυ dispersiei / dλ = 0, viteza de grup-wai coincide cu faza.
Ne găsim acum viteza de grup g υ valuri de Broglie. prin definiție,
Prin transformarea acestei expresii, obținem:
υ c = d (ħω) / d (hk) = dE / dp
Relația dintre E și p pentru particule, conform teoriei relativității, determinată de relația:
E 2 = p 2 + m c 2 c 0 2 4
în care m 0 - masa de repaus a particulei.
Diferențierea această expresie, vom găsi:
sau dE / dp = pc 2 / E
υ c = pc 2 / E = pc 2 / mc 2 = p / m = υ
și anume viteza de grup de lungime de undă de Broglie υ c este viteza υ particulelor.