Fie G =
Shortest lungime (Vi, Vj) -marshruta numit distanța dintre nodurile Vi și Vj, notat prin # 63; (Vi, Vj).
pune # 63; (Vi, Vj) = 0. Este evident faptul că distanța introdus astfel satisface metrice următoarele axiome:
1) # 63; (Vi, Vj) # 63; 0;
2) # 63; (Vi, Vj) = 0 # 45; Vi = Vj
3) # 63; (Vi, Vj) = # 63; (Vi, Vj) - simetrie
4) # 63; (Vi, Vj) # 63; # 63; (Vi, Vj) + # 63; (Vj, Vk) - inegalitatea triunghiului.
Dacă V =, atunci matricea P = (pi, j) = # 63; (Vi, Vj), numită matricea distanțelor (unde matricea P este simetrică).
Pentru vertex fix valoarea V E (v) = max <? (Vi, Vj) | Vj є V> numita excentricitatea V. vertex Astfel, excentricitatea vertexul este egală cu distanța de la acest vertex la cele mai îndepărtate din acesta.
Dacă matricea P kilometric, excentricitate E (Vi) este egal cu cel mai mare număr de picioare în rândul i-lea.
Excentricitatea maximă a tuturor nodurilor grafului G este diametrul menționat este notat cu d (G). d (G) = vf [. Partea superioară a V se numește periferic, dacă E (v) = d (G).
Să considerăm un exemplu. Găsim diametrul graficului G, ilustrat în figura 18. matricea distanțelor R are forma:
Prin urmare, E (1) = 3, E (2) = 2 și E (3) = 3, și E (4) = 2 e (5) = 2, și, prin urmare, d (G) = 3. Vârfurile 1 și 3 Ele sunt periferice.
excentricitate minimă a graficului G se spune ca raza, notat cu r (G). r (G) = min.
Se numește centrale vertex V, dacă E (v) = r (G).
Setul de toate nodurile centrale ale graficului se numește centrul său.
Luați în considerare următorul exemplu. Raza graficului prezentat în figura 18, este egal cu 2, iar centrul său este setat.
Problema găsirii vârfurilor centrale apar în activitatea practică. Să presupunem, de exemplu, graficul reprezintă o rețea de drumuri, adică nodurile umane corespund punctelor, iar marginile - între drumuri. Aceasta are loc în mod optim, spitale, stații de service, etc. În astfel de situații, optimizarea este de a minimiza distanța de la locul de serviciu în sat mai la distanță. Prin urmare, ar trebui să fie destinații de plasare nod central. probleme reale diferă de această temă ideală pe care trebuie să ia în considerare alte circumstanțe - distanța dintre așezări, costuri, timpul de călătorie etc.
Lemn - una dintre cele mai comune concepte în teoria graficelor (Figura 19).
Este clar că „un loc special“ în copac ocupă nu numai în partea de sus a agățat. Ei ies în evidență în partea de sus a copacilor și a marcat printr-un cerc dublu. Aceste vârfuri sunt numite rădăcină.
Nodul rădăcină nu este dificil să se distingă copaci ca în Figurile 20, 21, 22.
În primul caz, nodul rădăcină este singurul vârful A, în al doilea - Vertex C în al treilea (un copac, toate nodurile cu excepția unuia, agățat, numit „stea“) - în partea de sus a A. Dar care sunt luate în considerare în partea de sus a rădăcinii în coloanele, care sunt prezentate în figurile 23, 24 și 25?
Este firesc să presupunem că toate aceste trei copaci au două rădăcină la vârf. Arborele din Figura 23 - este A și B la arborele din Figura 24 - o C și D, arborele din Figura 25 - este A și B.
Distanța d (Vi, Vj) între nodurile Vi și Vj graf G se numește lungimea cea mai scurtă cale conectarea acestora. (Dacă graficul G-copac, calea care leagă nodurile Vi și Vj, numai).
Calculăm pentru fiecare nod al arborelui prezentat în figura 26, cea mai mare dintre distanțele pentru toate celelalte vârfuri și să scrie aceste numere în figură în apropierea nodurilor (fig.27).
Cel mai mare dintre aceste numere se numește diametrul graficului (în acest caz un copac), cea mai mică - raza COUNT.
Partea de sus a arborelui, pentru care maximul distanței față de celelalte noduri ale aceeași rază, numită rădăcină. Pentru arborele prezentat în figura 26, diametrul este 5, iar raza este 3; apex rădăcină - A și B.
Sarcină. Se calculează diametrul și raza graficului prezentat mai jos:
Noi rezolva o altă problemă în chimie „compus hidrocarbură saturată numit carbon C, și având o valență 4 N hidrogen având o valență de 1, în care atunci când numărul dat de atomi de carbon conținut cel mai mare număr de atomi de hidrogen. Formula obține hidrocarbură saturată având atomi de carbon n ".
Luați în considerare un grafic în care nodurile sunt atomii și nervurile - legăturile covalente relevante între ele. Să ne arate contrariul, că nu există nici un ciclu în grafic, și anume, Poate că trecerea de pe marginile de sus a graficului în partea de sus, a reveni la vârful de pornire. În cazul în care ciclul este, acesta trebuie să fie compus din atomi de carbon, deoarece hidrogenul are o valență de 1 și poate fi conectat la un singur atom. Acest ciclu existența legăturii la rupere între doi atomi de carbon și atașat la fiecare dintre ele mai un hidrogen. Numărul de atomi de hidrogen crește, atunci graficul original, care descrie molecula de hidrocarburi saturate nu.
nervurile pot merge în construirea unui grafic de la orice nod la oricare alta, și nu există cicluri. Un astfel de grafic se numește un copac. Să molecule care cuprinde atomi de carbon, n și m atomi de hidrogen, atunci graficul va cuprinde n + m vârfuri. Mai mult, pentru rezolvarea problemei raportului utilizare cu ușurință dovedit a fi: numărul de muchii din arbore este unul mai mic decât numărul de noduri. În consecință, în coloana n + m - 1 muchii. Din nodurile graficul denota atomii de carbon din nervurile 4 și a nodurilor reprezintă un atom de hidrogen, - unul. Folosind simplul fapt că suma gradelor vertex, adică, suma numărului de coaste, este posibil să se scrie relația: 4n + m = 2 (n + m - 1). Rezultă că m = 2n + 2. Prin urmare, formula o hidrocarbură saturată având atomi de carbon n: CnH2n + n.
Ie compusul cu formula poate fi preparat folosind matematica, folosind doar determinarea și efectuarea de experimente chimice.
Prin limitarea numărului de (non-ciclu) se referă hidrocarburi precum pentan S5N12. Formula sa structurală este prezentată în Figura 28. Această formulă poate fi pus în unu-la-unu corespondență singur arbore înrădăcinat (Fig. 29) prezentând aranjamentul reciproc al numai atomi de carbon în moleculă pentan. Dar astfel determinată în mod unic și localizarea atomilor de hidrogen în moleculă. Figura 30 prezintă formula structurală a unei molecule izopentani, și Figura 31 care îi corespunde dvukornevoe copac.
Dintr-un motiv sau altul, aproape toate lucrările pe teoria grafurilor sunt pline de semințe de posibile aplicații practice, sau cel puțin potențial utile.
Graficele sunt utilizate în mod eficient în planificarea și teoria de management, teoria planificare, sociologie, economie, biologie, medicină, în domeniul matematicii aplicate.