Prin urmare, forma normală Jordan de matrice este compus din celule cu numere Jordan I și -I la diagonala. Numărul de celule cu numărul I pe aceeași diagonală. Numărul de celule cu numărul de pe diagonală -I nu-mi pasă.
Exemplul 2. Găsiți forma normală Jordan a matricei
În consecință, în diagonala celulelor Iordania cu numere -I și 2. Numărul de celule cu numărul de pe diagonală -I nu-mi pasă. Numărul de celule cu numărul 2 pe diagonala aceeași. Deoarece numărul este o rădăcină de 3 ori a polinomului caracteristic, atunci diagonala matricei este un bloc Jordan de ordine și un bloc Jordan de ordinul 2 cu numărul pe diagonală. prin urmare,
Exemplul 3. Găsiți forma normală Jordan a matricei
Prin urmare, în conformitate cu teorema Cayley-Hamilton. și anume operator liniar cu matricea este nilpotent.
Iordania formă normală a matricei găsită în § 2. Este
Să - spațiu liniar dimensional operator liniar - matricea sa în unele baze. Acum, indică o metodă de construcție bază canonică relativă. știind forma normală Jordan a matricei. Pentru a face acest lucru, este suficient să se găsească matricea de tranziție de la baza acestei la canonice necesare. După cum este bine cunoscut, în timp ce
Matrix. satisface ecuația (I), pot fi găsite prin felul următor. Vom multiplica ambele părți ale ecuației (I) pe partea stângă și se transferă toți membrii egalității care rezultă de pe partea stângă. obținem egalitatea
care poate fi considerat ca un sistem omogen de ecuații liniare în care necunoscutele sunt elementele matricei. Orice decizie a acestui sistem care îndeplinește condiția suplimentară
Ea dă matricea dorită. O astfel de soluție există datorită asemănărilor și.
Exercitarea. Este cunoscut faptul că o matrice de un element de câmp infinit ca aceasta peste câmpul de extensie. Dovedi că acestea sunt similare peste câmp.
§ 5. forma normală Generalizat Jordan.
Să - operatorul liniar al spațiului liniar real dimensional. Deoarece polinomul caracteristic al operatorului poate fi rădăcini invalide, atunci baza canonică cu respect. în general vorbind, nu există. Cu toate acestea, în spațiul real poate fi găsit unele de înlocuire naturală a formei normale Iordania a matricei operatorului.
Să - să fie un polinom ireductibil peste câmp, și - rădăcinile sale. Să considerăm matricea pătrată
comandă. Noi Denotă și a numit-o celulă generalizată Jordan. Această matrice poate fi scrisă ca
repetate pe timpii „diagonale“ și și - identitatea și matricea de ordinul doi zero.
matrice Quasidiagonal. fiecare celulă „diagonală“, care are o celulă sau generalizată celulă Jordan Jordan, numit generalizat matrice Jordan. În special, acesta poate fi.
Să - matrice pătrată deasupra câmpului. Generalizat matrice Jordan similar cu matricea. numit Jordan formă normală generalizată a matricei. Scopul acestei secțiuni este de a dovedi existența unei forme normale Jordan generalizată și de a obține un algoritm pentru a construi un astfel de formular.
Teorema 9. generalizate Există formă normală Iordania pentru reali matritsynad pătrați. Acesta este definit în mod unic până la ordinea de celule „diagonală“.
Dacă polinomul caracteristic al matricei are numai rădăcini reale, există peste un câmp al formei normale Jordan a matricei. Acesta va fi necesar. Prin urmare, considerăm cazul în care polinomul caracteristic al matricei este rădăcinile invalide. Dovada teoremei în acest caz, mai multe leme, menționând mai întâi că pe teren există Iordania forma normală a matricei. Ca și înainte, notăm cu numărul de celule Iordania. în picioare pe matrice „diagonală“.
Dovada. Conform formulei (*) § 4
Prin urmare, este suficient să se arate că - naturală. Este ușor de văzut că și, prin urmare.