Setul setului echipotent toate numerele nazyvaetsyaschotnym naturale.
Puterea set de numere naturale este notat # 1488; 0 = | N |.
Nu mai mult de un set numărabilă - setul de numărabil sau finit.
Această definiție, am ieșit din clasa de echivalență, care se numește numărabil, un reprezentant - setul de numere naturale - iar acum au ceva pentru a compara alte seturi.
Orice bijectie # 957;. N → M se numește enumerarea M. M = i | i = 0, 1,2, ...>.
Astfel, în cazul în care numerotarea găsit un anumit set, atunci acest lucru se dovedește că este numărabil. Elementele unui set numărabilă este, de asemenea, numit secvența.
Având în vedere un alfabet A - un set de simboluri, care sunt, de asemenea, numite litere. Noi numim un cuvânt în alfabetul o serie finită de scrisori scrise între ele. Uneori este convenabil să ia în considerare cuvântul gol, nu conține litere - este desemnat # 923;.
Vom demonstra că, în orice limbă există o mulțime numărabilă de cuvinte
Teorema. În cazul în care alfabetul A este finită, setul de cuvinte în alfabetul A * este numărabil.
Corolar. cuvinte în alfabet - un număr numărabil. Ea - validări - ne-a confirmat din nou numărabilitate setului de numere naturale.
Teorema. Orice subset al unui set numărabil este cel mult numărabilă.
# 9633; Fie A - numărabil. Prin urmare, elementele pot fi enumerate: 1. a2. ..., o, ...>. Elemente de orice subgrup BÍO pot fi aranjate în ordine crescătoare :. În consecință, numerotarea a subset # 957; (n) = # 9632;
Teorema. Orice set infinit conține un subset numărabil.
# 9633; Să A0 - un set infinit. Prin urmare, este non-gol și $ A1 ÎA0. Să A1 = A 0 \ 1>. A1 nu este gol, deoarece altfel A0 = 1>, ceea ce contrazice ipoteza infinitatea A0. Vom continua procedura: A1 există a2. lasa A2 = A1 \ 2> = A0 \ 1. a2> ... etc.
Pe n-pas obținem: A n = A 0 \ 1. ..., un> este non-gol, deoarece altfel A0 = 1. ..., un>. Mai mult, prin construcție ai ≠ ak. dacă i ≠ k - elementele sunt distincte. Apoi $ AN ÎȘi A n, prin construcție, A n = 1 A n \ n> set de gol.
Astfel, prin inducție, am construit un set format din elemente diferite reciproc 1. a2. ..., o, ...>Î A0 cu numerotarea # 957; (n) = o. # 9632;
Teoremele s-au dovedit că un set numărabilă este puterea minimă a tuturor seturilor infinite - pentru că, probabil, este numit Aleph zero.
Teorema. În orice set infinit există două seturi disjuncte de numărabil. Dovada - divizare în chotnuyu și numerotare ciudat.
Teorema. Combinații de oricare dintre care nu mai mult de familie numărabilă de mulțimi numărabile.
Index elementele de familii de asociere, după cum urmează:
a) I desigur; b) I este numărabilă
Secvența (a11, A21, A12, A22, A31, ...) - numerotare. Principiul construcției sale este aceea că - primul fix N = 2 și scrie aik astfel încât i + k = N. Apoi, N → N + 1, și totul se repetă.
Notă: Familiile pot fi aceleași elemente
Corolar. * Un set de toate cuvintele din alfabet de numărare A este numărabilă. Să presupunem că avem numerotarea în A: A = 1. a2. ..., o, ...>
Este notat cu A n alfabet finit: A n = 1. a2. ..., un>. Orice cuvânt din A * constă dintr-un număr finit de litere (prin definiție), și, prin urmare, acesta este un cuvânt într-o oarecare alfabet finit, și anume Ak. k = max (k1. k2. ..., kn). astfel mulțimea tuturor cuvintelor din alfabet A este unirea unui număr de seturi numărabil A1. A2, ..., A n.
Exemplu. Numere algebrice. Rădăcinile polinomiale arbitrar un x n + ... + a0. în cazul în care ak - numere întregi, se numesc numere algebrice. Polinomul poate fi privit ca un cuvânt într-un alfabet finit: A = - set de cuvinte numărabile și rădăcinile într-un număr finit de polinoame. Prin urmare, mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabil.
Teorema. Setul de valori ale unei funcții definite pe setul de numărare, nu mai mult de numărabil. # 957; (n) = f (o) - numerotare.
Teorema. Fie A - un număr infinit, și B - nu este mai mult decât un subset numărabil. Dacă setul A \ B este infinit, atunci este echivalentă cu setul A.
Alegem A \ B submulțime numărabilă C; prin construcție B∩C = O. Combinații B și C este numărabilă, deci există bijectie f. BÇC → C. Este necesar să se construiască o bijectie A → A \ B. Construit:
Corolar. dacă A este infinit, și B nu mai mult numărabilă, atunci unirea AÇB este numărabilă.