Rezumatul matematică superioare
Îndeplinită: elev Lobin LA
Universitatea de Stat din Moscova de Statistică Economie și Informatică.
Antiderivative și nedeterminată integrală
Luați în considerare problema: dat o funcție f (x) este necesar pentru a găsi o funcție F (x), a cărui derivat este egal cu f (x), adică. F „(x) = f (x).
Definiție: 1. Funcții F (x) se numește primitivă a funcției f (x) în intervalul [a, b], în cazul în care în toate punctele acestui segment, egalitatea F „(x) = f (x).
Exemplu. Căutare funcția primitivă f (x) = x2.Iz determinarea primitiv, funcția F (x) = x3 / 3 este primitiv, ca (x3 / 3) „= x2.
Este ușor de văzut că dacă f (x) există o primitivă pentru funcția. că acest primitiv nu este singurul. Deci, în exemplul anterior ar putea fi luate ca primitivele din următoarele funcții:
(În cazul în care C este o constantă arbitrară), deoarece
. Pe de altă parte, este posibil să se demonstreze că funcțiile formularului
epuizeze toate primitivele din x2 funcției. Acest lucru rezultă din următoarea teoremă.
Teorema. Dacă F1 (x) și F2 (x) - două primitivelor ale funcției f (x) în intervalul [a, b], atunci diferența dintre ele este constantă.
Dovada. Prin definirea primitive
F1 '(x) = f (x), F2' (x) = f (x) (1)
Pentru orice valoare a lui x în intervalul [a, b].
F1 (x) - F2 (x) = # 966; (x). (2)
Apoi, pe baza ecuațiilor (1) vor f 1 (x) - f2 (x) = f (x) - f (x) = 0 sau # 966; (x) = [f 1 (x) - f2 (x)] „≡0 pentru orice valoare a lui x în intervalul [a, b]. Dar, din egalitatea # 966; (x) = 0, rezultă că # 966; (x) este o constantă. Într-adevăr, aplicăm teorema lui Lagrange la funcția # 966; (x), care este în mod clar diferențiabilă și continue pe intervalul [a, b]. Indiferent de punctul x pe intervalul [a, b], avem de teorema lui Lagrange # 966; (x) - # 966; (a) = (x-a) # 966; „(z), în cazul în care un Astfel, funcția # 966; (x), în orice punct x în intervalul [a, b] stochează valoarea # 966; (a), ceea ce înseamnă că funcția # 966; (x) este constantă în intervalul [a, b]. desemnând constantă # 966, (a) prin C, din ecuațiile (2) și (3) se obține F1 (x) - F2 (x) = C Din această teoremă rezultă că, în cazul unei funcții date f (x) este găsit kakaya- orice primitivă F (x), atunci orice alt primitiv pentru f (x) are forma F (x) + C, unde C = const / DEFINIȚIE 2. Dacă funcția F (x) este o primitivă f (x), expresia F (x) + C se numește integrală nedefinită a funcției f (x) și este notat ∫f (x) mod dx.Takim prin definiție, ∫ f (x) dx = f (x) + C, în cazul în care f „(x) = f (x). În acest caz, funcția f (x) se numește funcția integrantul, f (x) dx- semn integrantul ∫- semn integral. Astfel, integrala nedefinită reprezintă o familie de funcții y = F (x) + C Din punct de vedere geometric este totalitatea curbelor nedefinite integrale (familiale), fiecare dintre care este obținut prin deplasarea una dintre curbele paralele cu ea însăși în sus sau în jos, adică. E. De-a lungul axei y. Se pune întrebarea în mod natural: dacă, pentru orice funcție f (x), există primitives (și, prin urmare, o parte integrantă nedeterminată)? Se pare că pentru fiecare. Rețineți, totuși, că, dacă funcția f (x) este continua pe intervalul [a, b], atunci nu există nici o dovadă primitiv (și, prin urmare, nedefinită integral) pentru această funcție. Gasirea primitiva pentru o anumită funcție f (x) se numește o funcție de integrare f (x). Notă următoarele: dacă derivata funcției elementare este întotdeauna o funcție elementară, primitivul funcțiilor elementare nu poate fi reprezentabile printr-un număr finit de funcții elementare. 2 rezultă din definiția: 1.Proizvodnaya integralei nedefinită este egal cu integrantul teesli F „(x) = f (x), apoi (∫ f (x) dx) '= (F (x) + C)' = f (x). (4) Ultima egalitate trebuie înțeleasă în sensul că derivatul de orice primitiv este integrandul. 2. Diferențialul este integrantul integral nedeterminată: d (∫f (x) dx) = f (x) dx. (5) Aceasta se obține pe baza formulei (4). 3. integrală nedefinită diferențiala unei funcții este funcția, plus o constantă arbitrară: Valabilitatea acestei ecuații este ușor de verificat prin diferențiere (diferențele de ambele părți sunt egale cu dF (x)). 2. Integrale Tabelul. Înainte de a trece la prezentarea metodelor de integrare, vom prezenta un tabel de integralelor funcțiilor elementare. = .(Aici și în următoarele formule pentru cunoștință de cauză = . = = = . = . = . = . = . = = . = . = . = . = . = . Valabilitatea formulei 7,8,11“, 14 12,13'i ușor de instalat prin diferențiere. În cazul 7 au formula , . In cazul formula 8articole similare