Posts Tagged „integrală nedefinită“
În integrarea prin aplicarea unui semn diferențial în lecțiile anterioare, ne-am rezumat sub semnul funcției diferențiale liniare. De fapt, în locul variabilei u de fiecare dată când am însemnat expresia formei kx + b, adică, Ne-am gândit: u-kx + b. pregătit du = kdx. și apoi am pus în fața factorului semn integrală a 1 / k. nu pentru a schimba valoarea acestei integrale. În cazul în care decizia de a utiliza proprietățile și integrale de masă - integralele foaie.
Este posibil să semneze o funcție diferențială neliniară sumă? Da, în cazul în care integrandul este un produs a doi factori: un factor - o funcție complexă a unor funcții neliniare, iar celălalt factor este derivata acestei funcții neliniare. Luați în considerare exemplele de mai sus.
Găsiți integralele nedefinite.
Exemplul 1. ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx = ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) = (x² + x + 2), 6: 6 + C.
Ce este acest integrandul? Produsul a funcțiilor puterii de (x + 2 x + 2) și de multiplicare (2x + 1), care este derivat din baza gradului (x + 2 x + 2) = 2x + 1.
Acest lucru ne-a permis să ia (2x + 1), sub semnul diferenței:
(2x + 1) dx = d (x 2 + x + 2). Și apoi aplicăm formula:
Verificați. 6 = 1/6 · (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) ': (F (x) + C)' = (6 + C (x² + x + 2) 6) " =
= (X 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 = f (x).
Exemplul 2. ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫ (x 3x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3x 2 + 3x + 1 ) =
Și mai mult acest exemplu diferă de la exemplul 1? Da, nimic! Același grad cu o bază cincea (3 x 2 + 3 + 1) înmulțit cu un trinomial (3x 2 - 2x + 3), care este derivat de la un nivel de bază (3 x 2 + 3 + 1) = 3x 2 - 2x + 3. Acest nivel la sol am adus sub semnul diferențial, din care valoarea integrantul nu este schimbat, iar apoi a aplicat aceeași formulă 1). (Integrale)
Aici, derivatul de (3-3 februarie) da (6x cu 2 - 3), și avem
disponibilă (12x 2 - 6), adică exprimarea 2 ori suma medie mai mare (2 x 3 - 3x) sub semnul diferențial, și înainte de factorul de aprovizionare integral 2. Aplicam formula 2) (integralele foaie).
Iată ce se întâmplă:
Nu a verifica, având în vedere că:
La ultima sesiune (11.1.2), vizualizarea exemplele privind găsirea integralele nedefinite, ne-am întâlnit cu metoda de rezumare un semn diferențial (am numit-o a doua cale). De fapt, am introdus o nouă variabilă, fără numindu-l, și numai ceea ce înseamnă.
În această lecție, vom atribui o schimbare de calificare a variabilei în cunoașterea integrală nedefinită și a proprietăților și a tabelelor de integralelor. Din nou, avem nevoie de integralele noastre foaie.
Exemple. Găsiți integralele nedefinite.
1. ∫ (6x + 5) 3 dx. Cum decidem? Ne uităm în fișa integrală și argumentează astfel: integrandul este o putere, și avem o formulă pentru gradul integrală (Formula 1)), dar există un nivel de bază și variabila de integrare u prea u.
Și avem variabila de integrare x. și nivelul de bază (6x + 5). Faceți o schimbare a variabilei de integrare în loc să scrie d dx (6x + 5). Ce sa schimbat? Din moment ce, atunci, este în valoare ca urmare a diferențial semn d, în mod implicit, este diferențiată,
apoi d (6x + 5) = 6dx, adică înlocuind variabila x la variabila (6x + 5) integrandul este crescut de 6 ori, astfel încât să compenseze factorul semn integral 1/6. Notați aceste argumente pot fi după cum urmează:
Deci, am decis acest exemplu este introducerea unei noi variabile (variabila este înlocuită cu o variabilă 6x + 5). În cazul în care am înregistrat o nouă variabilă (6x + 5)? Sub semnul diferenței. Prin urmare, această metodă de introducere a noii variabile este adesea numită metoda (sau proces) însumarea (nouă variabilă) sub semnul diferențial.
Într-un al doilea exemplu, am primit prima putere cu indicele negativ, iar apoi însumate prin semnul diferențial (7x-2) a fost utilizat și gradul de formula integrală 1) (integralele).
Să ne Exemplul 3 soluție.
Înainte de factor de cost integrală 1/5. De ce? Deoarece d (-5x 2) = 5DX, este adus sub semnul diferenței funcției u = 5x-2, am mărit integrantul în 5 ori, astfel încât valoarea acestei expresii nu sa modificat - a fost necesar să se împartă cu 5, și anume . înmulțit cu 1/5. Mai mult, a fost folosită formula 2) (integralele).
Toate integralele formulă simplă va arata ca:
∫f (x) dx = F (x) + C. Mai mult decât atât, egalitatea:
Formulele de integrare pot fi obținute în contact cu formulele de diferențiere relevante.
Exponentul n poate fi fracționată. De multe ori este necesar să se găsească integrala nedefinită a funcției y = √h. Se calculează integralei funcției f (x) = √x, utilizând formula 1).
Scriem acest exemplu sub forma de Formula 2).
Deoarece (x + c) = 1 atunci ∫dx = x + C.
Înlocuirea 1 / h² de 2 x. Calculăm integrala 1 / h².
Și a fost posibil să se obțină acest răspuns cunoscut formule de diferențiere de tratament:
Scriem argumentele noastre sub forma de Formula 4).
Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații de 2, obținem formula 5).
Găsim integralelor funcțiilor trigonometrice fundamentale, cunoscând derivații lor: (sinx) „= COSX; (COSX) „= - sinx; (TGX) „= 1 / cos²x; (Ctgx) „= - 1 / sin²x. Se obține formule de integrare 6) - 9).
După studierea funcțiilor exponențiale și logaritmice, adăugați câteva formule.
Principalele proprietati ale indefinit integral.
I. Derivata unei integrale nedefinită este egal cu integrantul.
II. integrală nedefinită diferențială este egal cu integrandul.
III. integrală nedefinită diferențial (derivat) al unei funcții egală cu suma funcțiilor și o constantă arbitrară C.
Vă rugăm să rețineți: I, II și III ale proprietăților diferențiale și integrale (semne diferențial și integral) „mananca“ reciproc!
IV. Un factor constant al integrandul poate fi luată în afara semnului integrală.
∫kf (x) dx = k · ∫f (x) dx, unde k - o valoare constantă nu este egal cu zero.
V. Integrala unei sume algebrică a funcțiilor este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții.
VI. Dacă F (x) este o primitivă f (x), k și b - valori constante, în care, k ≠ 0, atunci (1 / k) · F (kx + b) este o primitivă f (kx + b). Într-adevăr, în conformitate cu regula pentru a calcula derivata unei funcții compozit, avem:
Există o acțiune inversă pentru fiecare operație matematică. Pentru acțiunea derivat (găsirea derivaților de funcții), de asemenea, există efectul opus - integrarea. Determinat prin integrarea (redus) printr-o anumită funcție sau diferențială derivat. S-au găsit o funcție numită primitiv.
Definiția. Funcția diferențiabilă F (x) se numește primitivă pentru funcția f (x) la un interval predeterminat, în cazul în care pentru toți x în acest interval de egalitate: F „(x) = f (x).
Exemple. Găsiți funcții antiderivatives: 1) f (x) = 2x; 2) f (x) = 3cos3x.
1) Deoarece (h²) = 2, atunci, prin definiție, funcția F (x) = x² va fi primitiv pentru funcția f (x) = 2x.
2) (sin3x) „= 3cos3x. Notând f (x) = 3cos3x și F (x) = sin3x, apoi prin definiție primitiv, avem: F „(x) = f (x) și, prin urmare, F (x) = sin3x este o primitivă f ( x) = 3cos3x.
Rețineți că (sin3x + 5) „= 3cos3x. și (sin3x-8,2) „= 3cos3x. într-o formă generală poate fi scrisă: (sin3x + C) „= 3cos3x. unde C - o valoare constantă. Aceste exemple demonstrează ambiguitatea acțiunii de integrare, în opoziție cu diferențierea acțiunii atunci când orice funcție diferențiabilă există doar derivat.
Definiția. Dacă funcția F (x) este o primitivă pentru funcția f (x) pe un interval, atunci multimea tuturor primitivelor acestei funcții este următoarea:
F (x) + C. în cazul în care C - orice număr real.
Mulțimea tuturor primitivelor F (x) + C Funcția f (x) pe intervalul considerat denumit nedeterminat integral și este notat ∫ (semnul integral). Record: ∫f (x) dx = F (x) + C.
∫f (x) dx Expresia citire "ef integrantă a X pe de X".
f (x) dx - integrantul,
f (x) - integrantul,
x - variabila de integrare.
C - o valoare constantă.
Acum exemple considerate pot fi scrise ca:
Ce face semnul d?
d - un semn al diferențial - are un dublu scop: în primul rând, semnul separă integrandul pe variabila de integrare; În al doilea rând, tot ceea ce vine după această implicit diferentsiruetsya semn și se înmulțește cu integrandul.
3) După x d pictograma costului diferențial. Prin urmare, variabila de integrare x. și p ar trebui să fie considerată o constantă.
Noi facem o verificare de fond. F '(x) = (px² + C)' = p · (x²) '+ C' = p · 2x = 2px = f (x).
4) După pictograma diferențială d este p. Prin urmare, variabila de integrare p. și x ar trebui să fie considerat un factor constant.
Noi facem o verificare de fond. F '(p) = (p²x + C)' = x · (p²) '+ C' = x · 2p = 2px = f (p).
Pagina 1 din 1 1