Metodele de bază de integrare a funcțiilor iraționale (rădăcini). iraționalitate biliniară diferențială integralele binomială conținând rădăcina pătrată a unui polinom pătratic. Unele integrală eliptică, exprimate în termeni de funcții elementare.
Funcția Irațional în variabila - este o funcție, care este format dintr-o constante variabile și arbitrare printr-un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire (ridicarea la o putere întreagă), divizarea și extragerea rădăcinilor. Funcția Irațională diferă de rațional că o funcție irațional cuprinde operații de extracție a rădăcinii.
Există trei tipuri principale de funcții iraționale, integralele nedefinite sunt reduse la integralelor funcțiilor raționale. Acest integralele conținând rădăcini de puteri integrale ale funcției liniare fracționată (rădăcini pot fi de diferite grade, dar de aceeași, a funcției biliniară); integralele binomială diferențiale și integrale cu rădăcina pătrată a polinomului pătratic.
Notă importantă. Rădăcinile multe sensuri!
La calcularea integralelor care conțin rădăcini, expresii frecvente ale formei. în cazul în care - o funcție de variabila de integrare. Trebuie avut în vedere faptul că. Asta este, atunci când t> 0. | t | = T. La t 0 și t 0. și inferioară - pentru cazul în care t N. N - un numitor comun al fracțiunilor m și n.
2) În cazul în care - un întreg. Substituirea unui x n + b = t M. în care M - numitorul numărului p.
3) În cazul în care - un întreg. Substituirea a + b x - n = t M. în care M - numitorul numărului p.
În alte cazuri, aceste integralele nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.
Uneori, aceste integralele pot fi simplificate prin utilizarea formulei de reducere:
;
.
Integralelor conținând rădăcina pătrată a polinomului pătratic
Asemenea integralele sunt de forma:
,
unde R - este o funcție rațională. Pentru fiecare astfel integral, există mai multe metode de rezolvare.
1) utilizând transformări conduc la integralele mai simple.
2) Se aplică substituția trigonometrice sau hiperbolică.
3) Se aplică substituția Euler.
Luați în considerare aceste metode mai în detaliu.
1) Conversia integrantul
Aplicarea formulei. și efectuarea de transformări algebrice, reducem integrandul la forma:
,
unde φ (x), ω (x) - funcții raționale.
Citește mai mult >>>
Mai departe, alocând partea întreagă y ω (x), și extinderea reziduului în fracțiuni parțiale, obținem integralelor trei tipuri.
Integrantă a formularului:
,
unde Pn (x) - un polinom de gradul n.
Astfel de integralele sunt coeficienți nedeterminați folosind identitatea:
Diferențierea această ecuație și egalează pe partea stângă și dreaptă, vom găsi coeficienții din Ai.
Citește mai mult >>>
Integrantă a formularului:
,
unde Pm (x) - un polinom de grad m.
t Substituind = (x - α) -1, aceasta se reduce integral la tipul anterior. Dacă m ≥ n. apoi fracțiunile trebuie să se facă parte din întreg.
Citește mai mult >>>
Aici vom face schimbarea:
.
După ce integralei ia forma:
.
Mai mult, constantele a, P pentru a alege astfel încât în numitorul coeficienților la t dispar:
B = 0, B1 = 0.
Apoi, se desparte integrale într-o sumă integralelor de două tipuri:
,
,
care integrează substituții:
u 2 2 = A1 + t C1.
v 2 = A1 + C1 t -2.
Citește mai mult >>>
2) trigonometrică substituție și hiperbolic
În unele cazuri, utilizarea de substituții trigonometrice și hiperbolice duce la calcule mai scurte. Pentru aplicarea lor, înlocuirea cu liniară, trinom pătratic sub semnul integrală trebuie să fie adus la suma sau diferența de pătrate. Apoi, va trebui să aplice una dintre substituții trigonometrice sau hiperbolice. substituții cheie sunt enumerate mai jos. Acestea sunt luate în considerare în mai multe detalii pe pagina:
substituții trigonometrice și hiperbolice >>>
Pentru integralele formularului. a> 0.
Avem trei substituție de bază:
;
;
;
Pentru integralele. a> 0.
avem următoarele substituții:
;
;
;
Și, în sfârșit, pentru integralele. a> 0.
înlocuind cu următorul text:
;
;
;
3) substitutiile Euler
De asemenea, integralele pot fi reduse la integralelor funcțiilor raționale ale unuia dintre cele trei substituții Euler:
. când a> 0;
. când c> 0;
. unde x1 - radacina unui x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.
integrală eliptică
În concluzie, considerăm integralele de forma:
,
unde R - este o funcție rațională. Astfel de integralele sunt numite eliptică. În termeni generali, acestea nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare. Cu toate acestea, există cazuri în care între coeficienții A, B, C, D, există rapoarte E în care aceste integralele pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.
Următorul este un exemplu legat de polinomul reciproc. Calculul acestor integralele se realizează cu ajutorul unor substituții:
.
Aici, atunci când x> 0 (u> 0) luând marca de sus '+'. la x <0 ( u <0 ) – нижний ′ – ′.