În ultimii ani, dezvoltarea intensiv o nouă ramură a matematicii moderne de calcul - teoria spline. Spline poate rezolva în mod eficient problema procesării dependențelor experimentale dintre parametri, având o structură destul de complicată.
Metodele de interpolare locale de mai sus sunt, în esență, cele mai simple canelurile primul grad (pentru interpolare liniară) și al doilea grad (interpolare pătratică).
Utilizarea practică cea mai extinsă, din cauza simplității lor, găsit spline cubi. Ideile de bază ale teoriei spline cubice formate ca urmare a încercărilor de a descrie matematic lamelele flexibile din material elastic (spline mecanice), care a fost mult timp folosit de desenatori în cazurile în care a existat o nevoie de la punctul stabilit curba suficient de netedă. Este cunoscut faptul că grebla un material elastic, fixat la anumite puncte, și care se află în poziția de echilibru, adoptă o formă în care energia este minimă. Această proprietate fundamentală permite utilizarea eficientă a spline în rezolvarea problemelor practice de prelucrare a datelor experimentale.
În general, pentru o y funcție = f (x) este necesară pentru a găsi o aproximare y = S (x), astfel chtobyf (xi) = S (xi) la punctele x = xi. o la celelalte puncte ale segmentului [a, b] valori ale funcțiilor f (x) și S (x) au fost aproape unul de altul. Un număr mic de puncte de date pentru a rezolva problema de interpolare, puteți utiliza una dintre metodele de construire a polinoame de interpolare. Cu toate acestea, un număr mare de noduri polinoame de interpolare devin practic inutilizabile. Acest lucru se datorează faptului că gradul polinomului de interpolare este doar unul mai puțin decât numărul de valori experimentale ale funcțiilor. Este posibil, desigur, un segment în care este definită funcția, împărțită în porțiuni care cuprind un număr mic de puncte de date, și pentru fiecare dintre ele pentru a construi polinoame de interpolare. Cu toate acestea, în acest caz, funcția aproximându va fi un punct în care derivatul nu este continuu, adică. E. Graficul Funcția va conține termeni „kink“.
spline cubice au acest dezavantaj. Studiile au arătat că linia subțire flexibilă între două noduri este bine descris de un polinom cubi, iar din moment ce nu este distrus, funcția de aproximare ar trebui să fie cel puțin în mod continuu diferențiabilă.
Astfel, spline - o caracteristică care, la fiecare segment în parte este o interpolare polinom algebric și întreaga lungime predeterminată continuă cu mai mulți derivați ai săi.
Lăsați funcția interpolat f (x) este dată de yi sale valori. la xi noduri,
(I = 0, 1. n). Notăm lungimea segmentului parțial [xi-1, xi] ca hi = xi -xi-1.
(I = 1, 2 n). Noi căutăm o segmente spline cubi la fiecare izchastichnyh [xi-1, xi] în forma:
în cazul în care - cei patru coeficienți necunoscuți. Putem dovedi că problema de a găsi spline are o soluție unică.
Necesită o coincidență de S (x) valori în nodurile cu valori sub formă de tabel funcției f (x):
Numărul acestor ecuații (2n) este de două ori mai mic decât numărul de coeficienți necunoscuți. Pentru a obține condiții suplimentare, avem nevoie, de asemenea, continuitatea prima și a doua derivații din spline în toate punctele, inclusiv nodurile. Pentru aceasta ar trebui asimilate "(x-0), S" derivații stânga și din dreapta S '(x-0), S' (x + 0), S (x + 0) într-un nod intern xi.
Calculati expresiile pentru derivații S „(x), S„(x) diferențierea succesivă (1.3.4-1):
găsi dreapta și derivații stânga la nodul: