Funcții de interpolare - Spline interpolarea
Lagrange interpolare formula, Newton și Stirling et al. Folosind un număr mare de puncte de interpolare pe intervalul [a. b] de multe ori duce la o aproximare slabă a acumulării de erori în procesul de calcul [2]. Mai mult, datorită divergența procesului de interpolare creșterea numărului de noduri nu conduce în mod necesar la o precizie sporită. Pentru a reduce erorile întregului segment [a. b] este împărțit în segmente parțiale, iar pe fiecare dintre ele polinom de gradul aproximativ funktsiyuzamenyayut scăzut. Aceasta se numește o interpolare polinomială pe porțiuni.
O modalitate de interpolare pe întregul interval [a. b] este o interpolare spline.
Spline este o funcție polinomială naotrezke definită pe porțiuni [a. b] și având pe acest segment un număr de derivați continue. Avantaje spline interpolare, în comparație cu tehnicile de interpolare convenționale - în convergență și stabilitatea procesului de calcul.
Luați în considerare una dintre cele mai obișnuite practici de cazuri - interpolarea funcția spline.
Lăsați intervalul [a. b] o funcție continuă. Introducem o partiție a intervalului:
Spline corespunzătoare acestei funcții, nodurile de interpolare (6) este o funcție care îndeplinește următoarele condiții:
1) pe fiecare interval, funcția este un polinom cub;
2) funcția și primul și al doilea derivatele sunt continue pe intervalul [a. b];
A treia condiție se numește condiție interpolarea. Spline condiții definite 1) - 3), numit interpolare spline.
Să luăm în considerare o metodă de construire a unei spline [2].
La fiecare interval, vom căuta o funcție Spline ca un polinom de gradul al treilea:
în cazul în care coeficienții necesari.
Diferențierea (7) de trei ori în x:
De la starea interpolarea 3) obținem:
În plus, vom presupune.
De la condițiile de continuitate a funcției urmează:
Prin urmare, având în vedere (7) obținem:
Oboznachivi omiterea calculelor intermediare [2], obținem în cele din urmă un sistem de ecuații pentru coeficienții:
Prin sistemul de coeficienți de matrice tridiagonal (9) are o soluție unică [2]. Găsirea factori. coeficienții rămași este definit prin formule explicite:
Astfel, se găsește doar un spline, care satisface condițiile 1) - 3).